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时间:2019-06-23
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1、二项式定理赋值法求各项系数的和例2.已知,求:(1);(2);(3).解:(1)当时,,展开式右边为∴,当时,,∴,(2)令,①令,②①②得:,∴.(3)由展开式知:均为负,均为正,∴由(2)中①+②得:,∴,∴例6.设,当时,求的值解:令得:,∴,点评:对于,令即可得各项系数的和的值;令即,可得奇数项系数和与偶数项和的关系例8.在的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数
2、无关.解:设(*),各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为.②令,各项系数和为.③奇数项的二项式系数和为,偶数项的二项式系数和为.④设,令,得到…(1),令,(或,)得…(2)(1)+(2)得,∴奇数项的系数和为;(1)-(2)得,∴偶数项的系数和为.⑤的奇次项系数和为;的偶次项系数和为.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一例7.求证:.证(法一)倒序相加:设①又
3、∵ ②∵,∴,由①+②得:,∴,即.(法二):左边各组合数的通项为,∴1.设求:①②.答案:①;②2.多项式()的展开式中,的系数为3.在的展开式中,奇数项之和为,偶数项之和为,则等于()A.0B.C.D.
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