数学破题36计上海

《数学破题36计上海》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1计芝麻开门点到成功●计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点.《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”.就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性.因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.●典例示范［例题］将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可以看出，其中.令，则.［分析］一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物.从何处破门呢？我们仍然在“点”

2、上打主意.莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意.［解Ⅰ］将等式与右边的顶点三角形对应（图右），自然有对此，心算可以得到：n=1，r=0，x=1对一般情况讲，就是x=r+1这就是本题第1空的答案.［插语］本题是填空题，只要结果，不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功.要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x=r+1.第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项.［解Ⅱ］在三角形中先找到了数列首项，并将和数列中的各项依次“以点连线”

3、（图右实线），实线所串各数之和就是an.这个an，就等于首项左上角的那个.138因为在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.因此得到这就是本题第2空的答案.［点评］解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案.事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质.例如从这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是这个数的左上角的那个数.用等式表示就是［链接］本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题.有

4、关解答附录如下.［法1］由知，可用合项的办法，将的和式逐步合项.［法2］第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而138［法3］（2）将代入条件式，并变形得取令得，………以上诸式两边分别相加，得［说明］以上三法，都是对解答题而言.如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀.为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.●对应训练1．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点

5、，F是椭圆的一个焦点，则

6、P1F

7、+

8、P2F

9、+……+

10、P7F

11、=_______.2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为.138●参考解答1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.连接P1F2、P2F2、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5F2=2a=10如此类推FP1+P1F2=FP2+P2F2=…=FP7+P7F2=7×10=70由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.2．找“点”——动点P、Q的极限点.如图所示，令A1P=CQ=0.即动点P与A1重

12、合，动点Q与C重合.则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1.显然V棱柱.∴∶=于是奇兵天降——答案为.［点评］“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局.这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的.这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.138第2计西瓜开门滚到成功●计名释义比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球.因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”.球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的.一是知识内容，二是思想方法.基本的数学思想并

13、不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想.数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.●典例示范［题1］已知实数x，y满足等式，试求分式的最值。［分析］“最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.［解一］（函数方程思想运用）令y=k(x-5)与方程联立消y，得：根据x的范围应用根的分布得不等式组：解得即≤≤即所求的最小值为，最