数学破题36计 第9计 瞎子开门 伸手摸缝.doc

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1、数学破题36计第9计瞎子开门伸手摸缝●计名释义命题人本来为解题人设计了“题门”，即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去摸.在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝，他便将手伸到门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了.●典例示范［引题］已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，（Ⅰ）证明：，；（Ⅱ）猜测数列{}是否有极限？如果有，写出极限的值；（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有［分析］此题有3扇门，即题问（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）.用手去摸，发现（

2、Ⅱ）是个门缝，因为（Ⅱ）最轻便：一是“猜”，二是“写出”（不要求说道理）.于是，可以把手伸到（Ⅰ）的后面，把（Ⅱ）当作门闩抽掉.［解Ⅱ］因为0N时，都有［插语］（Ⅱ），（Ⅲ）已破，题门大开，回

3、师攻（Ⅰ）形势更好.［解Ⅰ］问题简化为已知：①②求证：③［插语］先抓住求证式③，其右边的分母中有变量，顺藤摸瓜，找到已知式①中的，不过它却在“分子”上.至此，快摸到问题（Ⅰ）的“门闩”.［续解］式③变为得式④.［插语］式④即为题（Ⅰ）的门闩.以下用式④与式②连接，从式②中变出.［续解］由式②得得式⑤依次令n=2,3,4,……得…两边相加得⑤代式①于⑤得.这就是要证的式④.从而证得式③：，即问题（Ⅰ）得证.［插语］变③为④，用的是分析法.变①、②为⑤，用的是综合法.条件（①，②）不等式（③）的证明，经常利用“分析—综合法”进行两边夹攻.［评论］本题是一道难度很高的

4、压轴大题，“伸手摸缝”的策略，改变了命题人原来设定的解题顺序，即从（Ⅰ）到（Ⅱ）、再到（Ⅲ）的一般顺序.从而使得易解的（Ⅱ）成为该大题的“题缝”.对于最难的题（Ⅰ），仍然采用了中间突破的办法，成功的关键也是从中找到了题（Ⅰ）的题缝：，实际上，不等式的证明中，分析法与综合法的接头处，正是问题的题缝.●对应训练对以上例题第（Ⅰ）问改为如下的问题：已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，（Ⅰ）设f(n)=,用数学归纳法证明：；（Ⅱ）求证：，；●参考答案［分析］　本题的（Ⅰ）、（Ⅱ）问，显然第（Ⅱ）问比第（Ⅰ）问容易.因此我们可以先解

5、第（Ⅱ）问，这时必需把第（Ⅰ）问的结果当作已知——题门从后面拨开.解（Ⅱ）：由已知不等式得≤解（Ⅰ）：设，利用数学归纳法证不等式（ⅰ）当n=3时，由，知不等式成立（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即，则即当n=k+1时，不等式也成立由（ⅰ）（ⅱ）知，［插语］数学归纳法证题，在k到k+1之间，存在着一个“题缝”.从k正推，属综合法；由k+1反推，属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲，若在“接头处”遇上困难，可用“因为——所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”，以便逃脱阅卷人的苛求.［说明］这里的解答，把（Ⅱ）放在（Ⅰ）的前面，只是“草纸”上的思

6、考顺序.真正在试卷上答题时，仍应把第（Ⅰ）问的解答放在前面，除非对（Ⅰ）没有解出.