数学破题36计 第9计 瞎子开门 伸手摸缝.doc

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1、数学破题36计第9计瞎子开门伸手摸缝●计名释义命题人本来为解题人设计了“题门”,即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲,他不是在看,而是用手去摸.在摸的过程中,他没有能力关心整个大门,而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝,他便将手伸到门的后面,轻轻地把门闩拉掉,题门也就随之开了.●典例示范[引题]已知不等式,其中n为大于2的整数,表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正,且满足,(Ⅰ)证明:,;(Ⅱ)猜测数列{}是否有极限?如果有,写出极限的值;(Ⅲ)试确定一个正整数N,使得当n>N时,对任意b>0,都有[分析]此题有3扇门,即题问(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ).用手去摸,发现(

2、Ⅱ)是个门缝,因为(Ⅱ)最轻便:一是“猜”,二是“写出”(不要求说道理).于是,可以把手伸到(Ⅰ)的后面,把(Ⅱ)当作门闩抽掉.[解Ⅱ]因为0N时,都有[插语](Ⅱ),(Ⅲ)已破,题门大开,回

3、师攻(Ⅰ)形势更好.[解Ⅰ]问题简化为已知:①②求证:③[插语]先抓住求证式③,其右边的分母中有变量,顺藤摸瓜,找到已知式①中的,不过它却在“分子”上.至此,快摸到问题(Ⅰ)的“门闩”.[续解]式③变为得式④.[插语]式④即为题(Ⅰ)的门闩.以下用式④与式②连接,从式②中变出.[续解]由式②得得式⑤依次令n=2,3,4,……得…两边相加得⑤代式①于⑤得.这就是要证的式④.从而证得式③:,即问题(Ⅰ)得证.[插语]变③为④,用的是分析法.变①、②为⑤,用的是综合法.条件(①,②)不等式(③)的证明,经常利用“分析—综合法”进行两边夹攻.[评论]本题是一道难度很高的

4、压轴大题,“伸手摸缝”的策略,改变了命题人原来设定的解题顺序,即从(Ⅰ)到(Ⅱ)、再到(Ⅲ)的一般顺序.从而使得易解的(Ⅱ)成为该大题的“题缝”.对于最难的题(Ⅰ),仍然采用了中间突破的办法,成功的关键也是从中找到了题(Ⅰ)的题缝:,实际上,不等式的证明中,分析法与综合法的接头处,正是问题的题缝.●对应训练对以上例题第(Ⅰ)问改为如下的问题:已知不等式,其中n为大于2的整数,表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正,且满足,(Ⅰ)设f(n)=,用数学归纳法证明:;(Ⅱ)求证:,;●参考答案[分析] 本题的(Ⅰ)、(Ⅱ)问,显然第(Ⅱ)问比第(Ⅰ)问容易.因此我们可以先解

5、第(Ⅱ)问,这时必需把第(Ⅰ)问的结果当作已知——题门从后面拨开.解(Ⅱ):由已知不等式得≤解(Ⅰ):设,利用数学归纳法证不等式(ⅰ)当n=3时,由,知不等式成立(ⅱ)假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即,则即当n=k+1时,不等式也成立由(ⅰ)(ⅱ)知,[插语]数学归纳法证题,在k到k+1之间,存在着一个“题缝”.从k正推,属综合法;由k+1反推,属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲,若在“接头处”遇上困难,可用“因为——所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”,以便逃脱阅卷人的苛求.[说明]这里的解答,把(Ⅱ)放在(Ⅰ)的前面,只是“草纸”上的思

6、考顺序.真正在试卷上答题时,仍应把第(Ⅰ)问的解答放在前面,除非对(Ⅰ)没有解出.

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