数学破题计()

《数学破题计()》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第13计钥匙开门各归各用●计名释义开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑.所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要

2、跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说。●典例示范【例1】F1、F2是椭圆的两个焦点，

3、F1F2

4、=2c,椭圆上的点P（x,y)到F1（-c,0),F2(c,0)的距离之和为2a.求证：

5、PF1

6、=

7、PF2

8、=【分析】一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c无b，而椭圆方程却有b无c，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.【解答】对

9、PF1

10、和

11、PF2

12、用距离公式，结合椭圆的定义得关于

13、PF1

14、=r1,

15、PF2

16、=r2的方程组②-③消y2,x2和c2得rr④①，④联立，解得故

17、P

18、F1

19、=

20、PF2

21、=【点评】快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.【例2】设数列{an}的前n项和Sn=1+anlgb,求使成立的b的取值范围.【思考】应首先分清{an}是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题.【解答】a1=1+a1lgb,若lgb=0,即b=1时，a1=S1=1与矛盾.∴b≠1,于是a1=而an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).∴an(1-lgb)=-an-1lgb,=为常数，{an}是首项为公比q=14/14的无穷递缩等比数列(已知存在)，∴

22、q=∈(-1,0)∪(0,1).由>-1,即>0,得lgb<或lgb>1,又<00

23、元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率；(2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.【思考】解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有关计算公式也无法准确解题，例如：(1)随机事件A发生的概率0≤P(A)≤1,其计算方法为P(A)=,其中m，n分别表示事件A发生的次数和基本事件总数；(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A与必有一个发生，故A与既是互斥事件，又是对立事件，对立事件

24、满足P(A)+P（）=1；(3)离散型随机变量的期望，Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…,这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.【解答】(1)基本事件总数n=C=35,设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件={任取3球，全是白球}.∵A与为对立事件，而Card=1(任取3球全是白球仅一种可能).∴P()=,于是P

25、(A)=1-P()=14/14即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50),∴P(ξ=50)=ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60),∴P(ξ=60)=ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70),∴P(ξ=70)=ξ=80表示所取4球全为红球,∴P(ξ=80)=于是ξ的分布列为：ξ50607080P∴Dξ=50×+60×+70×+80×=(元).即该顾客获奖的期望是≈63(元).●对应训练1

26、M为双曲线上任意一点，F1为左焦点，求证:以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2相切.2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相切.3在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质:(1)E(aξ+b)=aEξ+b;(2)Dξ=Eξ2-E2ξ.4M为抛物线y2=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切.●参考答案1如图所示，MF1