数学破题计(22)

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1、第25计函数开门以静显动●计名释义函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照，没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量（动数）的个数较多时，我们先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止（常数或参数），例如，考虑二次函数y=ax2+bx+c时，是把x,y看作一对互动的变数，而把a,b,c看作“静数”.其实，a,b,c也在变化，只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数.●典例示范【例1】设双曲线与直线x+y=1相交于两个不同的点A和B，求双曲线离心率的取值范围.【分析】求取值范围就是求离心率e的值域.为

2、此，我们要寻求e的函数式.【解答】按双曲线离心率的关系式，有【插语】公式e=本来是“静式”，现在让其运动起来，成了函数式f(a).启发我们求函数e=f(a)的定义域，即a的取值范围.【续解】由双曲线与直线相交于两点，得方程组【插语】我们并非要从这个方程中解得x和y的值，而是要由“方程组有2个解”的条件求出a2的取值范围.【续解】消y后整理得函数e=f(a)=在（0，1）和（1，）上都是减函数，故有f(a)>且f(a)≠.即所求范围是.【点评】函数解题，动静相依，动静互控，从而实现由简单函数与复合函数的互动，以及函数与方程，函数与不等式的互动.【附录】以下我们用函数性质讨论a2

3、的取值范围.18/18由方程组解得：a2=h(x)=.由于≠0,所以a2≠1.因为，所以a2≤2.由于相交的两点A、B对应着不同的x值，因此a2到x的对应是1对2，因此在h(x)中x2,由此得到a2≠2.故有a2<2.【例2】解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.【解答】将原方程变形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).由方程的特点，我们构造函数fx)=x2003+x，知f(x)是x∈R上的单调递增函数，又f(x+6)=f(-x),故x+6=-x，即x=-3.【点评】此题从方程的特点入手，利用函数思想，构造了函数f(x)=x2003+x，把解方

4、程的问题变为讨论函数的性质的问题，巧妙地求出了方程的解.【例3】在xOy平面上给定一曲线y2-2x=0.(Ⅰ)设点A的坐标为(,0)，曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离

5、PA

6、.(Ⅱ)设点A的坐标为(a,0)，a∈R，曲线上点到点A的距离的最小值.【解答】(Ⅰ)设P(x,y)为曲线上任意一点，y2=2x(x≥0),

7、PA

8、2=，∴当x=0时，

9、PA

10、取得最小值.(Ⅱ)设P(x,y)为曲线上任意一点,同理有

11、PA

12、2=(x-a)2+y2=［x-(a-1)］2+(2a-1)(x≥0),①当a≥1时，在x=a-1≥0处，

13、PA

14、取得最小值.②当a<0时，在x=0处，

15、P

16、A

17、取得最小值【点评】解题方向是建立目标函数，然后转化为以a为自变量的二次函数在闭区间上的最值问题.【例4】某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用是元；③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为元.经过讨论有两种方案：（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形厂房一面的边长；（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（1）、（2）两种方案哪个更好？【分析】通过分析已知条件比较容易想到用函数模型来解此题.以建墙费用为目标函数，再通

18、过讨论函数的最小值来解决问题.18/18【解答】设利用旧墙的一面边长为x米，则矩形的另一面边长为米.（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为元，其余建新墙的费用为:元，故总费用为:y=得:所以，当且仅当即x=12∈(0，14)米时，ymin=35a(2)若利用旧墙一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为元，建新墙的费用为元，故总费用为：即∵但由于x=时，x=<14，x［14,+∞)，因此均值不等式此处失灵.以下用求导法解决问题：∵y′=2a（1-）.∴x>时，y′>0，而14>.故x∈［14,+∞）时函数y单

19、调增.∴x=14时，ymin=综上所述，采用方案（1），利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙的总费用最省，费用为35a元.【点评】函数应用题真正的难点在于处理其中的最值问题.这也就是函数的“玄机”所在.处理最值的手段很多，有利用均值不等式；利用函数的单调性；利用导函数；利用三角函数的有界性等.其中“导函数法”有通用、快捷的特点，应是掌握的重点。●对应训练1.设a、b、c∈R，且它们的绝对