2018版高中数学苏教版选修1-1学案：2.4.2 抛物线的几何性质（二）

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1、2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案2．4.2　抛物线的几何性质(二)学习目标　1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．知识点一　直线与抛物线的位置关系思考1　若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？　思考2　直线与抛物线的位置关系与公共点个数．　　梳理　直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有

2、________个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴________________，此时直线与抛物线有________个公共点．知识点二　抛物线中的弦长与中点弦问题1．相交弦长弦长公式：d＝

3、x1－x2

4、＝

5、y1－y2

6、.2．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导AB的斜率如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有由①②得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)．③∵kAB＝，④y1＋y2＝2

7、y0，⑤由③④⑤得kAB＝，即弦AB的斜率只与焦参数________和弦AB中点的________坐标有关．92017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案类型一　直线与抛物线的位置关系例1　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l和C只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？　　跟踪训练1　平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y＝－1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线y＝x－2的距离最短，求出P点的坐标；(3)设直线

8、l：y＝x＋m，当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？　　类型二　与弦长、中点弦有关的问题例2　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程．　　反思与感悟　中点弦问题解题策略方法跟踪训练2　已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1P2.92017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案　类型三　抛物线中的定点(定值)问题例3　已知点A，B是抛物线y2＝2

9、px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点．　　　反思与感悟　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．　　1．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a＝________.2．

10、直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得线段的中点坐标是________．3．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________．4．若抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，且AB＝4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为________．5．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长AB＝3，求此抛物线的方程．　92017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案　　求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称

11、等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．提醒：完成作业　第2章　§2.4　2.4.2(二)92017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案答案精析问题导学知识点一思考1　不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．思考2　位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点梳理　两　一　没有　平行或重合　一知识点二2．p　纵题型探究例1　解　将l与C的方程联立，得消去y，可得k2x2＋(2k－4)x

12、＋1＝0，(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解为x＝.∴直线l与抛物线C只有一个公共点(，1)，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝4k2－16k＋16－4k2＝－16k＋16.①当Δ>0，即k<1且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；②当