平行线被折线所截问题

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1、平行线被折线所截问题的研究石笋中学胡艳【案例背景】本人曾在初中拓展课的课堂使用，也可在数学兴趣班的教学中使用.【预备知识】平行线的性质【研究目标】1.掌握平行线的性质2.运用化归思想启发学生构造一条平行线.3.通过问题的研究，引起学生研究几何图形的兴趣，提高识图能力和说理能力.4.在操作、观察、思考、讨论等一系列学习活动中，感悟探索几何图形性质的基本思维过程.【问题提出】两条平行线被第三条直线所截，得到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.将第三条夹在平行线间的线段改为折线，这时会出现一系列的角，那么这些角的大小之间有什么关系？【研究过程】一、对折线凹凸问题的探

2、究探索1已知：AB//CD（如图1），折线是夹在AB与CD之间的一条折线，猜想、、大小之间有什么关系？为什么？初看这三个角似乎没有什么关系，建立它们的关系是关键.首先可以通过观察、操作、测量、讨论等一系列的学习活动，猜想这三个角之间的关系，大概得出.但如何证明猜想的正确性呢？图1要立足“两条平行线被第三条直线所截”这一理念，启发学生添加辅助线.学生可能想到构造一条截线，于是延长AP1（或延长CP1、或联结AC等）；或者把图中的AP、BA作为截线，但这样就缺少平行线.于是过点P作平行线.解：过点P1作（如图2）图2解决这一问题的经验与方法，是继续探究的基础，要让学

3、生充分体验.探索25探索1中，折线只有一个折，如果增加一个折，如图3，猜想、、、之间有什么关系？为什么？把探索1的探究过程迁移，过点P1、P2分别作AB//P1E1,AB//P2E2，可推导出(如图4)探究3：（如图5）、、、、猜想之间有什么关系？把探索1、探索2的探究过程迁移，可推导出.探究4：（如图6）猜想、、、…、大小之间有什么关系？探索4是把具体的对1个折、2个折、3个折的研究，发展到对n个折的探索，是从特殊到一般的过程，分析过程如下表：折数各角之间的关系123……n结论方向朝左的角的和等于方向朝右的角的和图5图6图3图4二.对折线凸出问题的探究探索1:

4、已知：AB//CD（如图7），折线是夹在AB与CD之间的一条折线，猜想、、大小之间有什么关系？为什么？图7由于有了前面探究知识的铺垫，学生很容易就会想到添加辅助线的方法.解：过点P1作（如图2）图85在探索1中，折线只有一个折，折线右侧出现了3个角.如果再增加一个折，那么折线右侧会出现几个角？这几个角之间有什么关系呢？探索2：已知AB//CD，（如图9）猜想、、、之间有什么关系？并说明理由.把探索1的探究过程迁移，过点P1、P2分别作AB//P1E1,AB//P2E2，可推导出（如图10）探究3：（如图11）猜想、、、、之间有什么关系？把探索1、探索2的探究过程

5、迁移，可推导出.探究4：猜想、、、…、之间有什么关系？探索4是把是把具体的对1个折、2个折、3个折的研究，发展到对n个折的探索，是从特殊到一般的过程，分析过程如下表：折点折线右侧出现的角的个数各角之间的关系结果的构成132×180=360243×180=540354×180=720…………nn+2（n+1）×180n为大于或等于1的整数结论折线右侧的各角之和等于折数与1的和乘以180°.图12图11图10图9三、对折线凹进问题的探究图13探究1如图13：已知AB//CD，猜想、和之间的关系.并说明理由.对探究1的研究延续上面已经得到的结论，探究2如图14：已知A

6、B//CD，猜想、、、之间的关系.并说明理由.解：过点P1、P2分别作AB//P1E1,AB//P2E2.如图155图17图16图15图14折线向右凹进2折，折线左右两侧各出现2个角，折线左侧两角和减去右侧两角和等于180°，根据这一思路，继续探究：探究3如图16，、、、、之猜想之间的关系.并说明理由.把探索1、探索2的探究过程迁移，可推导出.探究4：如图17，猜想、、、…、之间的关系.并说明理由.探索4是把具体的对凹进1个折、2个折、3个折的研究，发展到对凹进n个折的探索，是从特殊到一般的过程，分析过程如下表：折点折线左侧出现角数折线右侧出现角数各角之间的关系

7、结果的构成1120×180=02221×180=1803322×180=360……………nn2（n-1）×180n为大于或等于1的整数结论折线左侧各角的和减去折线右侧的各角的差等于折数与1的差乘以180°.【相关研究】折线位置变化问题的探究（1）已知AB//CD，猜想、和之间的关系.并说明理由.（图18）（2）已知AB//CD，猜想、和之间的关系.并说明理由.（图19）5（3）已知AB//CD.求证：（图20）（4）已知AB//CD，求的度数.（图21）（5）已知AB//CD，求的度数.（图22）图22图21图20图19图185