高三数学教案：轨迹问题

《高三数学教案：轨迹问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、课时考点13轨迹问题考纲透析考试大纲：在理解曲线与方程意义的基础上，能较好地掌握求轨迹的几种基本方法.高考热点：1.直接法、定义法、转移法求曲线的轨迹方程.2.数形结合的思想，等价转化的思想能起到事半功倍的作用.新题型分类例析热点题型1：直接法求轨迹方程（05江苏•19）如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆.圆的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程解：以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则（-2，0），（2，0），由已知，得因为两圆的半径均为1

2、，所以设，则，即，所以所求轨迹方程为（或）[变式新题型1]：设双曲线的焦点分别为、，离心率为2.（1）求此双曲线的渐近线、的方程；（2）若A、B分别为、上的动点，且2

3、AB

4、=5

5、

6、，求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.热点题型2：定义法和转移法求轨迹方程（05辽宁•理21）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，

7、是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由。解：本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以………………………3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得，即由，所以…………………………3分（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当

8、时，由，得.又，所以T为线段F

9、2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分解法二：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当

10、时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（），则因此①由得②将①代入②，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分③④（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是由③得，由④得所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.………………………11分当时，，由，，，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是③④由④得上

11、式代入③得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.………………………11分当时，记，由知，所以…………14分[变式新题型2]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过定点A(4,0)且与抛物线交于P,Q两点。（1）若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求p的值。（2）在（1）的条件下，若，求动点R的轨迹方程.[启思]热点题型3：与轨迹有关的综合问题（05江西·理22）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求

12、△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，∴切线AP的方程为：切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则∴同理有∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线B

13、F的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB[变式新题型3]动椭圆C以坐标原点O为左焦点,以定直线x=–8为左准线,点B是椭圆C的短轴上的一个端点，线段BO的中点为M.（1）求点M的轨迹方程；（2）已知kR,i=（1，0），j=（0，1），经过点（–1，0）且以i+kj为方向向量的直线与点M的轨迹交于E、F两点，又点D的坐标为（1，0），若EDF为钝角，求k的取值范围.[启思]