高三数学教案:轨迹问题

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1、课时考点13轨迹问题考纲透析考试大纲:在理解曲线与方程意义的基础上,能较好地掌握求轨迹的几种基本方法.高考热点:1.直接法、定义法、转移法求曲线的轨迹方程.2.数形结合的思想,等价转化的思想能起到事半功倍的作用.新题型分类例析热点题型1:直接法求轨迹方程(05江苏•19)如图,圆与圆的半径都是1,,过动点P分别作圆.圆的切线PM、PN(M.N分别为切点),使得试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程解:以的中点O为原点,所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则(-2,0),(2,0),由已知,得因为两圆的半径均为1

2、,所以设,则,即,所以所求轨迹方程为(或)[变式新题型1]:设双曲线的焦点分别为、,离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线、的方程;(2)若A、B分别为、上的动点,且2

3、AB

4、=5

5、

6、,求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.热点题型2:定义法和转移法求轨迹方程(05辽宁•理21)已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足(Ⅰ)设为点P的横坐标,证明;(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;(Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,

7、是否存在点M,使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由。解:本小题主要考查平面向量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应用,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.(Ⅰ)证法一:设点P的坐标为由P在椭圆上,得由,所以………………………3分证法二:设点P的坐标为记则由证法三:设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得,即由,所以…………………………3分(Ⅱ)解法一:设点T的坐标为当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.当

8、时,由,得.又,所以T为线段F

9、2Q的中点.在△QF1F2中,,所以有综上所述,点T的轨迹C的方程是…………………………7分解法二:设点T的坐标为当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.当

10、时,由,得.又,所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为(),则因此①由得②将①代入②,可得综上所述,点T的轨迹C的方程是……………………7分③④(Ⅲ)解法一:C上存在点M()使S=的充要条件是由③得,由④得所以,当时,存在点M,使S=;当时,不存在满足条件的点M.………………………11分当时,,由,,,得解法二:C上存在点M()使S=的充要条件是③④由④得上

11、式代入③得于是,当时,存在点M,使S=;当时,不存在满足条件的点M.………………………11分当时,记,由知,所以…………14分[变式新题型2]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l过定点A(4,0)且与抛物线交于P,Q两点。(1)若以弦PQ为直径的圆恒过原点O,求p的值。(2)在(1)的条件下,若,求动点R的轨迹方程.[启思]热点题型3:与轨迹有关的综合问题(05江西·理22)如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求

12、△APB的重心G的轨迹方程.(2)证明∠PFA=∠PFB.解:(1)设切点A、B坐标分别为,∴切线AP的方程为:切线BP的方程为:解得P点的坐标为:所以△APB的重心G的坐标为,所以,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:(2)方法1:因为由于P点在抛物线外,则∴同理有∴∠AFP=∠PFB.方法2:①当所以P点坐标为,则P点到直线AF的距离为:即所以P点到直线BF的距离为:所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.②当时,直线AF的方程:直线BF的方程:所以P点到直线AF的距离为:,同理可得到P点到直线B

13、F的距离,因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB[变式新题型3]动椭圆C以坐标原点O为左焦点,以定直线x=–8为左准线,点B是椭圆C的短轴上的一个端点,线段BO的中点为M.(1)求点M的轨迹方程;(2)已知kR,i=(1,0),j=(0,1),经过点(–1,0)且以i+kj为方向向量的直线与点M的轨迹交于E、F两点,又点D的坐标为(1,0),若EDF为钝角,求k的取值范围.[启思]

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