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《第12讲：数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、【备战2013高考数学专题讲座】第12讲：数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。
2、用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与自然数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。一般地，在高中数学中证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n
3、0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。结合2012年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用：一、反证法的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1：（2012年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当n＞1时，1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（
4、8分）【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。∴，从而=4。（2）证明：取，设满足。由得，∴、异号。∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。故1ÎX。假设，其中，则。选取，并设满足，即。则、异号，从而、之中恰有一个为－1。若=－1，则，矛盾；若=－1，则，矛盾.∴=1。（3）猜测，i=1,2,…,。记，=2,3,…,。先证明：若具有性质P，则也具有性质P。任取，、Î.当、中出现－1时，显然有满足。当且时，、≥1。∵具有性质P，∴有，、Î，使得。从而和中有一个是－1，不妨设=－1，假设Î且Ï，则。由，得，与Î
5、矛盾。∴Î，从而也具有性质P。现用数学归纳法证明：，i=1,2,…,。当=2时，结论显然成立。假设时，有性质P，则，i=1,2,…,；则当时，若有性质P，则也有性质P，所以。取，并设满足，即。由此可得与中有且只有一个为－1。若，则，所以，这不可能；∴，，又，所以。综上所述，，i=1,2,…,。【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。（3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1,2,…,。例2：（2
6、012年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）对如下数表A，求的值；11－0.80.1－0.3－1（2）设数表A∈S（2,3）形如11cab－1求的最大值；（3）给定正整数t，对于
7、所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由题意可知，∴。（2）先用反证法证明：若，则，∴（无解）。同理可知。∴。由题设所有数和为0，即，∴，解得，与题设矛盾。∴。易知当时，存在。∴的最大值为1。（3）的最大值为。首先构造满足的：，。经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，。下面证明是最大值。若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得。由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的每一列两
8、个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对
