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《2019-2020年高考数学专题讲座 第12讲 数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2019-2020年高考数学专题讲座第12讲数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。反证法是“间接证明法”一类，是从反面的角度的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一
2、种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与自然数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。一般地，在高中数学中证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（
3、2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。结合xx年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用：一、反证法的应用：典型例题：例1：（xx年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.（1）若＞2，且，求的值；（4分）（2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当n＞1时，1=1；（6分）（3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。∴，从而=4。（2）证明：取，设满足。由得，∴、异号。∵－1是X中唯一的负数，所
4、以、中之一为－1，另一为1。故1ÎX。假设，其中，则。选取，并设满足，即。则、异号，从而、之中恰有一个为－1。若=－1，则，矛盾；若=－1，则，矛盾.∴=1。（3）猜测，i=1,2,…,。记，=2,3,…,。先证明：若具有性质P，则也具有性质P。任取，、Î.当、中出现－1时，显然有满足。当且时，、≥1。∵具有性质P，∴有，、Î，使得。从而和中有一个是－1，不妨设=－1，假设Î且Ï，则。由，得，与Î矛盾。∴Î，从而也具有性质P。现用数学归纳法证明：，i=1,2,…,。当=2时，结论显然成立。假设时，有性质P，则，i=1,2,…,；则当时，若有性质P，则也有性
5、质P，所以。取，并设满足，即。由此可得与中有且只有一个为－1。若，则，所以，这不可能；∴，，又，所以。综上所述，，i=1,2,…,。【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。【解析】（1）根据题设直接求解。（2）用反证法给予证明。（3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1,2,…,。例2：（xx年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。对于A∈S(m，n)，记Ri(A)
6、为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。（1）对如下数表A，求的值；11－0.80.1－0.3－111cab－1求的最大值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。【答案】解：（1）由题意可知，∴。（2）先用反证法证明：若，则，∴（无解）。同理可知。∴。由题设所有数和为0，即，∴，解得，与题设矛盾。∴。易知当时，存在。∴的最大值为1。（3）的最大值为。首先构造满足的
7、：，。经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，。下面证明是最大值。若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得。由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中.由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），
8、每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。因此，故的第一行行和
