第10讲 数学解题方法之配方法探讨-备战2014高考数学专

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1、【备战2014高考数学专题讲座】系列由江苏泰州锦元数学工作室精心编辑，在对全国2013年高考数学解析的基础上分若干专题对基本解题方法进行归纳探讨。讲座分四个单元28讲：第一单元：客观性试题解法探讨（2讲），第二单元：数学思想方法探讨（6讲），第三单元：数学解题方法探讨（4讲），第四单元：高频考点分析（16讲）。3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从本讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和

2、未知的联系，从而化繁为简。如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：；；；结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：；。结合2013年全国各地高考的实例探讨配方法的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2013年广东省理14分

3、）设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知，n∈N·（1）求a2的值；（2）求数列｛an｝的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有。下面用数学归纳法证明：i.当n=1时，成立。【考点】数列与不等式的综合，数学归纳法的应用。【解析】（1）略（2）在中，分别求出n=1，2，3…，寻找出规律：，用数学归纳法证明。（3）略例2.（2013年广东省理14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线L：的距离为。设P为直线L上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点。（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直

4、线L上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线L上移动时，求的最小值。【答案】解：（1）（2）略（3）由抛物线定义可知，∴。例3.（2013年湖南省理13分）过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2。l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.（1）若k1>0，k2>0，证明：；（2）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．【答案】解：（1）略（2）由抛物线的定义得，∴，从而圆M的半径。∴圆M

5、的方程为，化简得。例4.（2013年江西省理5分）过点（，0）引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于【】A．B．C．D．【答案】B。【考点】直线与圆的位置关系，直线的斜率。【分析】∵由得，（y≥0），∴曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点）。例5.（2013年山东省理5分）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为 【】A．0B.1C.D.3∴，此时x=2y。∴。∴。∴当取得最大值时，的最大值为1。故选B。例6.（2013年上海市理14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某

6、种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围（6分）；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润（8分）.【考点】不等式和函数的应用。【分析】（1）根据“生产该产品2小时获得的利润不低于3000元”列不等式即可。（2）在以x千克/小时的速度生产产品时，每小时可获得的利润是)元，这里隐含着1千克/小时的速度下每小时可获得的利润函数，必须明朗它；在给定速度的情况下，小时可获得的利润是多少，也必须清楚它，这里要把变量当做常量，去乘以时间（

7、小时）。这样得到利润关于速度的函数，应用配方法即可求解。例7.（2013年浙江省理4分）设为单位向量，非零向量，x，yÎR．若的夹角为，则的最大值等于▲．例8.（2013年浙江省文14分）已知抛物线C的顶点为O（0,0），焦点F（0,1）（1）求抛物线C的方程；（2）过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求

8、MN

9、的最小值。【考点】直线与圆锥曲线的关系，抛物线的定义、性质与方程，分类思想，数形结合思想和转化思想的应用。【分析】（1）略（2）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程

10、为y=kx+1，将直线方程与（1）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出

11、MN

12、，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值。