第9讲：数学解题方法之待定系数法探讨

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第9讲：数学解题方法之待定系数法探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑3～8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从本讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法

2、之一。它渗透于高中数学教材的各个部分，在全国各地高考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“设，的反函数，那么的值依次为　　▲　　”，解答此题，并不困难，只需先将化为反函数形式，与中对应项的系数加以比较后，就可得到关于的方程组，从而求得值。这里的就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“与直线L：平行

3、且过点A(1,-4)的直线L’的方程是　　▲　　”，解答此题，只需设定直线L’的方程为，将A(1,-4)代入即可得到k的值，从而求得直线L’的方程。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（

4、组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面四方面探讨待定系数法的应用：（1）待定系数法在函数问题中的应用；（2）待定系数法在圆锥曲线问题中的应用；（3）待定系数法在三角函数问题中的应用；（4）待定系数法在数列问题中的应用。一、待定系数法在函数问题中的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年浙江省理4分）若将函数表示为，其中，，，…，为实数，则▲．【答案】10。【考点】二项式定理，导数的应用。【解析】　用二项式定理，由等式两边对应项系数

5、相等得。或对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用特殊元素法，令得：，即。例2.（2012年山东省文4分）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝▲.【答案】。【考点】函数的增减性。【解析】∵，∴。当时，∵，函数是增函数，∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为。此时，它在上是减函数，与题设不符。当时，∵，函数是减函数，∴在［－1，2］上的最大值为，最小值为。此时，它在上是增函数，符合题意。综上所述，满足条件的。　例3.（2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数

6、，在区间上，其中．若，则的值为▲．【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。又∵，，∴②。联立①②，解得，。∴。例4.（2012年全国大纲卷文12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值．【答案】解：（1）∵，∴①当时，，且仅当时。∴是增函数。②当时，有两个根。列表如下：的增减性＞0增函数＜减函数＞0增函数（2）由题设知，，是的两个根，∴，且。∴。同理，。∴直线的解析式为。设直线与轴的交点为，则，解得。代

7、入得，∵在轴上，∴，解得，或或。【考点】函数的单调性和极值，导数的应用。【解析】（1）求出导函数，分区间讨论即可。（2）由，是的两个根和（1）的结论，得，求出关于的表达式和关于的表达式，从而得到直线的解析式。求出交点的横坐标代入，由其等于0，求出的值。例5.（2012年全国课标卷文5分）设函数(Ⅰ)求的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，，求k的最大值【答案】解：(Ｉ)f(x)的的定义域为，。若，则，∴在上单调递增。若，则当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增。(Ⅱ)∵a=1，∴。∴当

8、x>0时，，它等价于。令，则。由(Ｉ)知，函数在上单调递增。∵，，∴在上存在唯一的零点。∴在上存在唯一的零点，设此零点为，则。当时，；当时，。∴在上的最小值为。又∵，即，∴。因此，即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】(Ｉ)分和讨论的单调区间即可。(Ⅱ)由于当x>0时，等价于，令，求出导数，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。二、待定系数法在圆锥曲线问题中的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1