第9讲:数学解题方法之待定系数法探讨

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第9讲:数学解题方法之待定系数法探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑3~8讲,我们对数学思想方法进行了探讨,从本讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中,常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。在数学问题中,若得知所求结果具有某种确定的形式,则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果,这些待确定的系数(或参数),称作待定系数。然后根据已知条件,选用恰当的方法,来确定这些系数,这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法

2、之一。它渗透于高中数学教材的各个部分,在全国各地高考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础,通常有三种方法:比较系数法;代入特殊值法;消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程(组),从而使问题获解。例如:“设,的反函数,那么的值依次为  ▲  ”,解答此题,并不困难,只需先将化为反函数形式,与中对应项的系数加以比较后,就可得到关于的方程组,从而求得值。这里的就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程(组),从而使问题获解。例如:“与直线L:平行

3、且过点A(1,-4)的直线L’的方程是  ▲  ”,解答此题,只需设定直线L’的方程为,将A(1,-4)代入即可得到k的值,从而求得直线L’的方程。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数,把相关变量用它表示,代入所求,从而使问题获解。例如:“已知,求的值”,解答此题,只需设定,则,代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是:(1)确定所求问题的待定系数,建立条件与结果含有待定的系数的恒等式;(2)根据恒等式列出含有待定的系数的方程(组);(3)解方程(

4、组)或消去待定系数,从而使问题得到解决。结合2012年全国各地高考的实例,我们从下面四方面探讨待定系数法的应用:(1)待定系数法在函数问题中的应用;(2)待定系数法在圆锥曲线问题中的应用;(3)待定系数法在三角函数问题中的应用;(4)待定系数法在数列问题中的应用。一、待定系数法在函数问题中的应用:典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】例1.(2012年浙江省理4分)若将函数表示为,其中,,,…,为实数,则▲.【答案】10。【考点】二项式定理,导数的应用。【解析】 用二项式定理,由等式两边对应项系数

5、相等得。或对等式:两边连续对x求导三次得:,再运用特殊元素法,令得:,即。例2.(2012年山东省文4分)若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数在上是增函数,则a=▲.【答案】。【考点】函数的增减性。【解析】∵,∴。当时,∵,函数是增函数,∴在[-1,2]上的最大值为,最小值为。此时,它在上是减函数,与题设不符。当时,∵,函数是减函数,∴在[-1,2]上的最大值为,最小值为。此时,它在上是增函数,符合题意。综上所述,满足条件的。 例3.(2012年江苏省5分)设是定义在上且周期为2的函数

6、,在区间上,其中.若,则的值为▲.【答案】。【考点】周期函数的性质。【解析】∵是定义在上且周期为2的函数,∴,即①。又∵,,∴②。联立①②,解得,。∴。例4.(2012年全国大纲卷文12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)设有两个极值点,,若过两点,的直线与轴的交点在曲线上,求的值.【答案】解:(1)∵,∴①当时,,且仅当时。∴是增函数。②当时,有两个根。列表如下:的增减性>0增函数<减函数>0增函数(2)由题设知,,是的两个根,∴,且。∴。同理,。∴直线的解析式为。设直线与轴的交点为,则,解得。代

7、入得,∵在轴上,∴,解得,或或。【考点】函数的单调性和极值,导数的应用。【解析】(1)求出导函数,分区间讨论即可。(2)由,是的两个根和(1)的结论,得,求出关于的表达式和关于的表达式,从而得到直线的解析式。求出交点的横坐标代入,由其等于0,求出的值。例5.(2012年全国课标卷文5分)设函数(Ⅰ)求的单调区间(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,,求k的最大值【答案】解:(I)f(x)的的定义域为,。若,则,∴在上单调递增。若,则当时,;当时,,∴在上单调递减,在上单调递增。(Ⅱ)∵a=1,∴。∴当

8、x>0时,,它等价于。令,则。由(I)知,函数在上单调递增。∵,,∴在上存在唯一的零点。∴在上存在唯一的零点,设此零点为,则。当时,;当时,。∴在上的最小值为。又∵,即,∴。因此,即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质,导数的应用。【解析】(I)分和讨论的单调区间即可。(Ⅱ)由于当x>0时,等价于,令,求出导数,根据函数的零点情况求出整数k的最大值。二、待定系数法在圆锥曲线问题中的应用:典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】例1

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