【精品】第11讲：数学解题方法之换元法探讨.doc

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第11讲：数学解题方法之换元法探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑3-8讲，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题屮，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。换元的实质是转化，关键是构造元或设元，理论依据是等量代换，目的是通过引进新的变量，把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把不熟悉的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化

2、，把菲标准型问题标准化等。通过换元，可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，化代数式为三角式等。在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元,三角换元，均值换元。结合2012年全国备地高考的实例，我们从下面三方面探讨换元法的应用：（1）局部换元法的应用；（2）三角换元法的应用；（3）均值换元法的应用。一、局部换元法的应用：局部换元，又称整体换元，是在已知或者未知屮，某个代数式几次岀现,而川一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。典型例题：例1・（2012年上海市文4分）方稈42初-3二0

3、的解是_▲【答案】log23o【考点】解指数方稈。【解析】方稈4"一2A+,-3=0,化简为（2丁一2•2”一3=0。令2"=〈>0）,则原方程可化为r2-2f-3=0,解得t=3或心-1（舍去）。例2・⑵12年全国课标卷理5分）已知函数/（沪玩千则y=/（x）的图像大致为【.*•2A===log23…••原方程的解为log23o【点评】通过设2v=r（r>0）,将原方稈变为熟悉的一元二次方稈和指数方稈的问题。(A)(B)(C)(D)【答案】B。【考点】导数的应用。V【解析】设g(x)=ln(l+兀)一无，则g'O)二o1+x•.•/(%)〉0时，-1

4、)v0时，x>0,・•・g(x)vg(0)=0。・・・x>0或—lvxvO均有/(x)vO。因此排除A,C,ZK故选B。【点评】通过设gW=ln(l+x)-A-,将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性,从而作岀正确的判断。例3・(2012年安徽省理13分)设f(x)=aex+—+b(a>0)aex(I)求/(兀)在［0,+8)上的最小值;(II)设曲线y=f(x)在点(2,/(2))的切线方程为y=

5、心求的值。【答案】解：(I)设/=e'(/n1),则y—ath。at.,1a2t2--y—=——。arar%1当dhl时，>0。.Iy=加+丄+方在/

6、XI上是增函数。at・••当/=l(x=0)时，/(X)的最小值为a+丄+b。a%1当0vdv1时，y=at-¥—+b>2--b"at・・・当且仅当at=(t=ex=丄,兀二一Ina)时，f(x)的最小值为〃+2。a由题意得：v/(2)=3厂⑵二I,解得l),将原函数变为较为简单的函数，讨论其单调性得到原函数的单调性。例4.(2012年全国

7、课标卷文5分)数列何｝满足an+1+(-l)nan=2n-l,则何｝的前60项和为【】(A)3690(B)3660(C)1845(D)1830【答案】Do【考点】分类归纳(数字的变化类)，数列。【解析】求出｛an｝的通项:由an+1+(-l)nan=2n-l得,当n=l时，a2=l+a1:当n=2时，a；=3-a2=2-d］；当n=3时，a4=5+a,=7-a!:当n=4时,a-=7-a4=a(；当n=5时，a(,=9+a§=9+a

8、；当n=6时，a7=11-a6=2-aj；当n=7时，a?=13+a&=15-a〕；当n=8时，a8=15-a7=a］:当n=4m+lH'

9、J-,a4lll+2=8m+l+a］；当口1说2时，a4m+2=2-a,；当n=4m+3时，a4in+4=8m+7-；当n=4m+4时,a4m+5=a((m=0,1,2,)。・・・｛an｝的四项Z和为％甸+a畑2+84时3+a佔=ai+(8m+l+aJ+(2-aJ+(8m+7-aJ=16m+10(m=0,l,2,)o设bm=a4m+l+a4m+2+a4m+3+a4m+4=16m+10(01=0,1,2,……)。则｛aj的前60项和等于｛"｝的前15项和，而｛叽｝是肖项为10,公差为16的等差数列，【点评】通过设bni=a4ni+1+a4n