高中数学解题基本方法之换元法

高中数学解题基本方法之换元法

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时间:2018-09-17

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1、二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问

2、题中有广泛的应用。换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4+2-2≥0,先变形为设2=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=+的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sinα,α∈[0,],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值

3、域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x+y=r(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=+t,y=-t等等。我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。Ⅰ、再现性题组:1.y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x+1)=log(4-x)(a>1),则f(x)的值域是________

4、_______。3.已知数列{a}中,a=-1,a·a=a-a,则数列通项a=___________。4.设实数x、y满足x+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。5.方程=3的解是_______________。6.不等式log(2-1)·log(2-2)〈2的解集是_______________。【简解】1小题:设sinx+cosx=t∈[-,],则y=+t-,对称轴t=-1,当t=,y=+;2小题:设x+1=t(t≥1),则f(t)=log[-(t-1)+4],所以值域为(-∞,log4];3小题:已知变形为-=

5、-1,设b=,则b=-1,b=-1+(n-1)(-1)=-n,所以a=-;4小题:设x+y=k,则x-2kx+1=0,△=4k-4≥0,所以k≥1或k≤-1;5小题:设3=y,则3y+2y-1=0,解得y=,所以x=-1;6小题:设log(2-1)=y,则y(y+1)<2,解得-2

6、①式得:4S-5S·sinαcosα=5解得S=;∵-1≤sin2α≤1∴3≤8-5sin2α≤13∴≤≤∴+=+==此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2α=的有界性而求,即解不等式:

7、

8、≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。【另解】由S=x+y,设x=+t,y=-t,t∈[-,],则xy=±代入①式得:4S±5=5,移项平方整理得100t+39S-160S+100=0。∴39S-160S+100≤0解得:≤S≤∴+=+==【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S=x+y与三角公式cosα+sinα

9、=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x+y而按照均值换元的思路,设x=+t、y=-t,减少了元的个数,问题且容易求解。另外,还用到了求值域的几种方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x、y时,可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a+13b=5,求得a∈[0,],所以S=(a-b)+(a+b)=2(a+b)=+a∈[,]

10、,再求+的值。例2.△ABC的三个内角A、B、C满足:A+C=2B,+=-,求cos的值。(96年全国理)【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得

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