2006天津市人文类竞赛真题及答案

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1、2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．若是上的连续函数，则a=1。2．若曲线上的点处的切线交x轴于，则。3．函数在区间上的最大值为。4．设函数由方程所确定，则。5．。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数f(x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（A）（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小；（D）低阶无穷小。2．

2、设函数f(x)在点x=a处可导，则在点x=a处不可导的充要条件是（C）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。3．设f(x)是在区间上单调递增的可导函数，则对任意的x必有（B）（A）；（B）；（C）；（D）。4．曲线与x轴所围成的平面图形的面积为（D）（A）；（B）；（C）；（D）。5设，则（B）(A)；(B)；(C)；(D)；三、求。（本题7分）解：方法一：注意到：，而，所以方法二：分别应用的Taylor公式，有，，因此，于是。四、设函数由参数方程所确定，求。（本题7分）解：由，，得到，所以。而当x=9时，由及t>1，得

3、t=2，故。五、设n为自然数，计算积分。（本题8分）解：注意到：对于每个固定的n，总有，所以被积函数在x=0点处有界（x=0不是被积函数的奇点）。又，于是有，上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有。所以。六、计算，其中k为常数。（本题8分）解：当k<1时，。当k≥1时，。故：七、设函数，求。（本题8分）解：，，，……，。八、计算极限。（本题8分）解：方法一：。方法二：注意到：故有。九、⑴证明：当充分小时，不等式成立。⑵设，求。（本题8分）证明：⑴因为，又注意到当充分小时，，所以成立不等式。⑵由⑴知，当n充分大时有，，故，而，于是，由夹逼定理知。十、设f(x)在闭区间[0,

4、1]上连续，f(0)=f(1)，证明：对于任意给定的整数n>2，必存在使得。（本题8分）证明：命。只需证明在区间上至少存在一点，使得。首先注意到在区间上连续。下面用反证法，若这种不存在，则在区间上不变号，不妨假设，，则，，……，，从而有，这显然与题设f(0)=f(1)矛盾，所以必存在使得。对，可类似证明。十一、设f(x)是除x=0点外处处连续的奇函数，x=0为其第一类跳跃间断点，证明是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。（本题8分）证明：因为x=0是f(x)的第一类跳跃间断点，所以存在，设为A，则A≠0；又因f(x)为奇函数，所以。命：则在x=0点处连续，从而在上处处连续，且是

5、奇函数。当x>0，则－x<0，；当x<0，则－x>0，,即是连续的奇函数，于是是连续的偶函数，且在x=0点处可导。又，即，所以是连续的偶函数，但在x=0点处不可导。