2008年天津市人文类竞赛真题及答案

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1、2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设f(0)>0，，则1。同工12．设函数，则。3．。同工34．已知，则3。5．设函数由方程确定，则曲线上对应于x=0点处的切线方程为。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则n等于（B）（A）4；（B）3；（C）2；（D）1。2．设函数，其中可导且当时则（C）（A）

2、为的一个极大值；（B）为的一个极小值；（C）点是曲线的拐点，但不是极值；（D）点不是曲线的拐点，也不是极值。3．积分（D）（A）0；（B）4；（C）；（D）。4．设函数在的某邻域内有连续的四阶导数，且。又在点处连续，则必有（C）(A)；(B)；(C)；(D)。5．（A）（A）；（B）（C）；（D）。三、设当时，连续函数与是等价无穷小，与是等价无穷小，求常数k与A。（本题8分）解：因为，故；。四、求由参数方程所确定的函数的二阶导数。（本题8分）解：，。五、求常数a，b，使在所定义的区间上连续。（本题8分）解：当x≠0,1时，在定义区间内其它各点处处连续。，，，于是有，即。又，

3、，，于是有。解方程组，得到。即当，时在定义区间上连续。六、对t的不同取值，讨论函数在区间上是否有最大值或最小值，若存在最大值或最小值，求出相应的最大值点与最大值或最小值点与最小值。（本题8分）同工三解：显然的定义域为：，，得驻点：。于是有x－21－0＋＋＋0－y↘极小值↗0↗极大值1↘又：。记：与分别表示在区间上的最大值与最小值。又上表不难看出：①时，；②时，；③时，无，；④时，无，。七、计算。（本题8分）解：注意到：，所以原式。八、过曲线上点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围平面图形D的面积。⑴求点A的坐标；⑵求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题8分）同工五

4、解：⑴设A点坐标为，则切线方程为：，即。命：y=0，得此切线与x轴的交点横坐标为，从而图形D的面积为。。即A点的坐标为(1,1)。⑵平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为：。九、设函数，其中是连续函数，且。⑴求；⑵讨论的连续性。（本题7分）同工六解：，由已知得。⑴当时，有在点处，由导数定义有所以⑵因为，故在点处连续；又当时，连续，所以处处连续。十、设函数，在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且对任意都有，证明：如果在(a,b)内有两个零点，则介于此两个零点之间，至少有一个零点。（本题8分）证明：设使。若在区间内没有零点，又，故。可设，显然，在区间上满足罗

5、尔定理的各项条件，所以至少存在一点使，即必有，与题设条件矛盾，故可知必存在使。十一、设函数在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内具有二阶导数，且。证明：，n为正整数。（本题7分）证明：设，有泰勒展开式：，其中ξ位于t与x0之间。命：，得。注意到：当时，，所以，，取，得到。