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1、2011年天津市大学数学竞赛试题参考解答(人文学科及农林医学等类)一.填空题（本题15分，每小题3分）:1.设是连续函数,且,则2.设,若则3.4.设是连续函数,且则5.二.选择题（本题15分，每小题3分）:1.设则在处(A),(B),(C),(D)不可导.答:(A)2.设函数具有二阶导数,且满足方程已知则(A)在的某个邻域中单调增加,(B)在的某个邻域中单调增少,(C)在处取得极小值,(D)在处取得极大值.答:(C)3.图中曲线段的方程为,函数在区间上有连续的导数,则积分表示(A)直角三角形AOB的面积,(B)直角三角形AOC的面积,(C)曲边三角形AO
2、B的面积,(D)曲边三角形AOC的面积.答:(D)4.设在区间上的函数且令则(A)(B)(C)(D)答:(C)1.设函数则当(A)与是等价无穷小;(B)与是同阶但非等价无穷小;(C)是比高阶的无穷小;(D)是比低阶的无穷小.答:(B)一.(7分)设函数在点处可微,求极限解由导数的定义和复合函数的求导法则二.(7分)设函数由方程确定,又函数由方程确定,求复合函数的导数解方程两边对求导当t=0时,x=0,故方程两边对x求导当时,故因此,一.(7分)设函数在上二阶可导，且，记，求的导数，并讨论在处的连续性.解由已知的极限知从而有当时,从而有因为所以,在处连续.当
3、时,在处,由有所以,而故在处连续.二.(7分)已知函数的导函数是三次多项式，其图像如下图所示：（Ⅰ）关于函数,填写下表:单调增区间单调减区间极大值点极小值点曲线向下凸区间曲线向上凸区间曲线的拐点（Ⅱ）若还知道的极大值为6，点在曲线上，试求出的表达式.解（Ⅰ）单调增区间（-2,0）,单调减区间,(0,2)极大值点0极小值点-2,2曲线向下凸区间曲线向上凸区间曲线的拐点（Ⅱ）设则由得故从而再由得所以一.(7分)设函数在上可导,且满足:(Ⅰ)研究在区间的单调性和曲线的凹凸性.(Ⅱ)求极限解(Ⅰ)当时,有故在区间单调增加.从而当时,也单调增加.可见,曲线在区间向下
4、凸.(或当时,可得可见,曲线在区间向下凸.)(Ⅱ)由题设知,应用洛必达法则一.(7分)求正数的值,使得余弦曲线与坐标轴围成的图形的面积被正弦曲线和三等分.解不妨设.显然,由,得;由,得于是由题设(注:令.如图可知,)解得同理,解得二.(7分)(Ⅰ)设函数在区间上连续,为偶函数,满足条件(为常数).证明:;(Ⅱ)设其中为正整数,计算定积分.解(Ⅰ)对于上式右边的第一个积分,令有所以(Ⅱ)由于而当时,因此,容易验证,是偶函数.应用(Ⅰ)的结论一.(7分)设在上具有连续导数,且试证证令则在连续,且对,又由题设知,当时,令则在上连续,且故有因此于是在上单调增加,取
5、,即得所证结论成立.一.(7分)设函数在闭区间上连续,并且对任一,存在使得证明:存在使证法一应用闭区间上连续函数的最值定理,存在,使由题设,对于,存在,使得可见现在证明:事实上,假如由题设,存在,使此与“是在上的最小值”矛盾.综上,得到结论:于是,应用介值定理,存在使证法二任取一个由题设存在使从而存在使如此继续下去,可得数列使由于有界无穷数列必有一个收敛的子数列,可设存在一个,使由的连续性,证毕.一.(7分)设抛物线通过两点,且.确定的值,使得抛物线与轴所围图形的面积最小,并求此时的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.解由已知,抛物线通过点可得;又抛物线通过
6、点,可得即于是,抛物线与轴交于和两点.这时抛物线与轴所围图形的面积为对求导令,注意到,故得到唯一的驻点从而当时,;当时,因此,在处取得最小值.因此,当时,抛物线与轴所围图形的面积最小.此时的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为
