2005天津市人文类竞赛真题及答案

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1、2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．已知，则。2．设函数，则。3．设，则0。4．设函数在闭区间上的最大值为M，最小值为m，则(m，M)=。5．设函数由方程所确定，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设在处连续，则(D)（A）；（B）；（C）；（D）。2．当时，是的（B）（A）低阶无穷

2、小；（B）高阶无穷小；（C）等价无穷小；（D）同阶但非等价无穷小。3．设函数可导，且，若要使在点处可导，则必有（A）（A）；（B）；（C）；（D）。4．设，则在上（D）(A)是的一个原函数；(B)是的一族原函数；(C)连续且可导，但；(D)连续不可导。5设与均为在上有定义的函数，在上连续且，在上有间断点，则下列结论中的正确者为（C）(A)必有间断点；(B)必有间断点；(C)必有间断点；(D)必有间断点。三、求由参数方程所确定的函数的二阶导。（本题7分）解：，。四、设函数试问：⑴当a为何值时，在点处连续；⑵当a为何值时

3、，为函数的可去间断点。（本题8分）解：。欲使，只需命，解得。于是有当时，，故可知，此时在点处连续；当时，，因此，此时为函数的可去间断点。五、计算，其中。（本题7分）解：六、设曲线与交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线围成一平面图形，试问：⑴当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？⑵最大体积为多少？（本题8分）解：当x≥0时，由，解得，A点的坐标为，故直线OA的方程为。于是，平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为：。上式两边对a求导：。命：，得到a=4。由于a=4是当时的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存

4、在最大体积，故在a=4时取最大值。其最大体积为：。七、设其中具有二阶连续导数，且，求，并讨论在上的连续性。（本题7分）解：当时，可导，且；当时，由导数定义。因此有。又故在点处连续，从而在上的连续。八、求。（本题8分）解：注意到：由积分定义，对上面不等式的右端取极限，得到。而不等式的左端取极限，有。由夹逼定理知。九、设函数在上连续，在内可导，且满足，证明：至少存在一点，使得。（本题8分）证明：由，可知，使得，由于，因此必有。取辅助函数，则在上连续，在内可导，并且。由罗尔定理可知，使得，于是有。十、设函数在上具有二阶导数

5、，且对一切有。证明在内曲线上任意一点处的切线与该曲线不相交（切点除外）。（本题8分）证明：设切线方程为，并命，于是要证明原命题成立，只需证明在内除外无零点。由，不妨设（的情况可类似证明），于是可知为增函数。又由于，因此为的极小值点，且，于是当时，，；当时，，。即对任意的，有唯一零点，亦即在内除外无零点，这就是说，曲线上任意一点处的切线与该曲线不相交（切点除外）十一、设函数在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得。（本题9分）证明：将函数在点处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到；。两式相

6、加得到。由于连续，由介值定理知，存在使得，从而得，即。