2010年人文类竞赛真题及答案

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1、2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．2。2．设曲线在拐点处有水平切线，则b=－3，c=3，1。3．设，则。4．已知的一个原函数为，则1。5．某城镇人口增长率的一阶动态模型为，其中P为时刻t时的人口总数，t的单位为年。如果该城镇当下人口总数为20万，则12年后该城镇人口数量为。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数其中

2、是有界函数，则在点处（C）。（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。2．设周期函数可导，周期为3，且，则曲线在点处的切线方程为（D）。（A）；（B）；（C）；（D）。3．设函数连续，则（B）。（A）；（B）；（C）；（D）。1．下列命题：⑴设，，且，则必有。⑵设，且，，则必有。⑶设，且，则必存在。正确的个数为（A）。（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个。5．设函数，若在区间内，，则在区间内（B）。（A），；（B），；（C），；（D），。三、计算。（本题8分）解：先求。令，当时，，则从而四、已知，求a，b的值

3、。（本题8分）解：故5a－1=0，。从而。故，。五、设，求。（本题8分）解：，即。（※）等式（※）两边对x求2阶导数得：，令，得。等式（※）两边对x求4阶导数得：，令，得。六、设对任意x函数满足等式，求的极值。（本题7分）解：设，则有，即，与原式联立，可解出。。令，解得驻点，n为整数。又。当（n为整数），此时为极大值；当（n为整数），此时为极小值。七、将一长为l的铁丝切成两段，分别围成等边三角形和圆形，问：当此两段铁丝各为多长时，此三角形面积与圆形面积之和最小。（本题7分）解：设等边三角形的周长为x（>0）,则圆周长为l－x。于是两面积之和为。令，得。

4、由于是唯一驻点，且实际问题存在最小值，所以是最小值点，即三角形周长为和圆周长为时两面积之和最小。八、设是区间上的函数，且，，证明：，。（本题8分）证明：对，的泰勒公式为：，。当时，分别有，；，。两式相减得，故而，故，。（附：若取，，则，。显然，）。九、证明：。（本题8分）证明：因当时，，故；又当时，，所以，故。综上。十、求由曲线和以及x轴所围图形D的面积与该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。（本题8分）解：二曲线的交点坐标为。D的面积。旋转体体积。十一、对k的不同取值，分别讨论方程在区间内根的个数。（本题8分）解：设，，，⑴当时，，即在上单调增加，又

5、，故原方程在区间内无根；⑵当时：，，单调减少；，，单调增加。所以是的极小值点，极小值。于是，当，即时，原方程在区间内无根；当，即时，原方程在区间内有唯一的根；当，即时，原方程在区间内有两个根。