2001天津市人文类竞赛真题及答案

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1、2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）1．设，则a=－2。2．的一个原函数为，则。3．设函数y=y(x)由方程所确定，则。4．设连续，，则。5．2。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．若函数在有限区间(a,b)内可导且无界，则它的导函数（B）。（A）在该区间内必有界；（B）在该区间内必无界；（C）在该区间内可

2、能有界，也可能无界；（D）只能断定在[a,b]上无界。2．设，（A）。（A）与为同阶但非等价无穷小；（B）与为等价无穷小；（C）是比更高阶的无穷小；（D）是比更低阶的无穷小。3．已知与在（－∞，+∞）上均可导，且<，则（C）。（A）>；（B）<；（C）<；（D）。4．设的导函数为，则的一个原函数为（C）。（A）；（B）；（C）；（D）。5.设为连续函数，且不恒为零，I=，其中s>0，t>0，则I的值（D）。（A）与s和t有关；（B）与s、t及x有关；（C）与t有关，与s无关；（D）与s有关，与t无关。以下各题的解答写在试题纸上，可以

3、不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。三、（本题7分）。解：分母，所以，有。四、求极限。（本题8分）解：命，两边取对数，得到对上式两边取极限，有所以。五、已知，求y(20)。（本题7分）解：设，则，，代入莱布尼茨公式，得到。六、设正数a满足关系式试求a之值。（本题9分）解：左边=右边=于是有，即。七、计算。（本题7分）解：设，于是八、在第一象限内，求曲线上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积。（本题9分）解：设所求之点为(x1，y1)，于是，过(x1，y1)的切线方程为y－y1=－2

4、x1(x－x1)。命x=0得切线在y轴上的截矩；命y=0得切线在x轴上的截矩。于是所求之面积为令，得到。（唯一驻点）又，即知点为所求，此时。九、证明：当x>0时，。（本题7分）证明：设（x>0），则即在区间（0，+∞）上函数y单调递减，又，所以（x>0），即。十、证明：方程，必有一个正实根，且其值不大于a+b。（本题8分）证明：设，则在(－∞，+∞)上连续。又，，若，即x=a+b为原方程的一个根；若必大于零。由闭区间上连续函数的零点定理知：至少存在一点ξ∈（0，a+b)使得，即x=ξ为原方程的一个根。综上所述，方程，必有一个正实根，

5、且其值不大于a+b。十一、已知a>0，x1>0，定义求证：存在，并求其值。（本题8分）解：第一步：证明数列的极限存在：注意到：当n≥2时，≥，因此数列有下界。又≤，即xn+1≤xn，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。第二步：求数列的极限设：，则有≥。由，有，解得（舍掉负根），即。