浅谈估算法在函数、数列中的应用

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1、浅谈估算法在函数、数列中的应用吕跃（湖北省沙市中学434100）胡耀宇（湖北省监利一中433300）估算，顾名思义，估摸着计算，它的基本特点是对数值作适当的扩大或缩小，对图象作粗略的观察，从而对运算结果确定出一个范围，或作出一个估计[1].有人说：“估算，是在蜂拥而来的众多信息面前，迅速捕捉一批有用或关键信息的那种数学素质，它往往可以跳过繁冗的逻辑推理过程，直接给出结果，或将解题的关键‘一眼看穿’”.高中数学课程标准明确提出要注重提高学生的数学思维能力，并作为数学教育的基本目标之一[2].要提高学生空间想象、抽

2、象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力，提高数学地提出、分析和解决问题的能力.新教材调整后的内容添加了《算法》这一模块，就体现了这样理念，可见运算能力作为学生的一项基本能力成为学生必备素质.同样，近几年高考为体现新课程标准的要求，在函数、数列的运算能力中也特别注重了“估算”的考查，本文拟从四个方面谈谈肤浅的认识.1特值引路，精打细算例1(2007年湖北卷理科)已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则A0B1CD法1：取p=1,q=2,，选C.法2：6一般化、特殊化和类比被并列地称为“获得发现的伟大源

3、泉”.可见特殊化思想的重要性，本题取p=1，q=2，不仅“四两拨千斤”，选出结果易如反掌，而且从中得到暗示[3]，可沿着二项式定理展开的方向进行一般化的探求.例2(2006福建卷文科)已知二次函数f(x)，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在自然数m，使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由.解：(1)(2)方程等价于,.当是减函数；当是增函数.方程h(x)=0在区间

4、内分别有唯一实数根，而在区间(0,3),内无实数根，所以存在m=3满足条件.如果从自然数集中找m，肯定如大海捞针，而，恰好提供了解题方向，只需考量区间端点符号，再利用根的存在性理论，问题迎刃而解.2心中有e，放缩自如例3(2007年四川卷理科)设函数是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由.解：对有：6又因为，故，从而有：成立，即存在a=2满足条件.对的二项式定理的展开式进行连续两次放缩，如非以前见过类似处理方式，则除了感叹方法妙不可言之外，恐怕更多的是“魔术师帽子中跑出来

5、的兔子”[3]的困惑.但若知道，至少也会知道存在a=2满足条件了.又如：例4(2007山东卷理科)设函数其中，证明对任意的正整数n，不等式都成立.别解：题意等价于；而当n>1时=n=1时，，故，(n=1时，取“=”)取，易知，g(x)递增；递减.问题得证.本题参考解答是构造函数考查h(x)在递增，且6h(0)=0.解法比上述别解更直接，但别解显示了掌握之后的另一种构造韵味.3数形结合，胸有成竹例5(2007年厦门双十期末测试)函数恒成立，求正整数k的最大值.法1：当恒成立.设，只需.令，即①设方程①对应解为x=

6、x0，则时，递减；，g(x)递增.其中，x0满足，下证20,j(2)·j(3)<0故2

7、4直觉估算，难题亦易例6：(2007湖北卷理科)已知m、n为正整数.(1)用数学归纳法证明：当时，；(2)对于(3)求出满足的所有正整数n.解：(1)(2)略.(3)当时，由(2)可知，即也就是方程无的解，故只需讨论n=1,2,3,4,5,时的情形.当n=1时，3¹4；当n=2时，当n=3时，；当n=4时，当n=5时，综上，所求n=2或者n=3.6其理能懂，其法太妙，妙难想到！其实，本题利用直觉就可估算出结果，首先勾股数，就知道特殊值n=2可行，于是如法炮制求出n=2,n=3，但不至于一直验证下去呀？回头重新审

8、题，会看到第(2)问中条件n³6在前面的证明中用处不大；而第(2)问与第(3)问中n+3这个代数式的相同就产生了方程两边同时除以(n+3)n的变形想法，后面的不等式就不难想到了.估算在上述问题的解决中的确发挥了重要作用，甚至成为解决问题的关键和灵感源泉.在现今高考中，不再用繁琐的计算、机械的重复来考查学生的运算能力，代之以基本数学思想指导下的一题多解，同时兼顾对算理和逻辑推理的考查[4