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《宁海正学中学选修2-1-3.2立体几何中的向量方法(六)2012.12.27》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、选修2-1-3.2立体几何中的向量方法（六）2012.12.27班级____________姓名_____________学号_________1、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD,且PB=PC=.（Ⅰ）求证：AB⊥CP；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）设面与面的交线为，求二面角的大小．解：（Ⅰ）∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC,又平面PBC⊥底面ABCD平面PBC∩平面ABCD=BC∴AB⊥平面PBC又PC平面PBC、∴AB⊥CP（Ⅱ）解法一：体积法.由题意，面面
2、，取中点，则面.再取中点，则………………5分设点到平面的距离为，则由.解法二：面取中点，再取中点，过点作，则在中，由∴点到平面的距离为。解法三：向量法（略）（Ⅲ）、面就是二面角的平面角.∴二面角的大小为45°2、如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1,∠ACB＝90º，G为BB1的中点。（1）求证：平面A1CG⊥平面A1GC1;（2）求平面ABC与平面A1GC所成锐二面角的平面角的余弦值。（I）证明：在直棱柱ABC-A1B1C1中，有A1C1⊥CC1。∵∠ACB＝90º，∴A1C1⊥C1B1，即A1C1⊥平
3、面C1CBB1，∵CG平面C1CBB1,∴A1C1⊥CG。┉┉┉┉┉┉┉┉2分在矩形C1CBB1中，CC1＝BB1＝2BC，G为BB1的中点，CG＝BC，C1G＝BC，CC1＝2BC∴∠CGC1＝90，即CG⊥C1G而A1C1∩C1G=C1，∴CG⊥平面A1GC1。∴平面A1CG⊥平面A1GC1。┉┉┉┉┉┉┉┉6分（II）由于CC1平面ABC，∠ACB＝90º，建立如图所示的空间坐标系，设AC＝BC＝CC1＝a，则A(a,0,0),B(0,a,0)A1(a,0,2a),G(0,a,a).∴=(a,0,2a),=(0,a,a
4、).设平面A1CG的法向量n1=(x1,y1,z1),由得令z1=1,n1=(-2,-1,1).┉┉9分；又平面ABC的法向量为n2=(0,0,1)┉10分设平面ABC与平面A1CG所成锐二面角的平面角为θ，则即平面ABC与平面A1CG所成锐二面角的平面角的余弦值为。┉┉┉12分ABQDCP3、在四棱锥中，平面，底面为矩形，.(Ⅰ)当时，求证：；(Ⅱ)若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.解：(Ⅰ)当时，底面为正方形，又因为,面…………………………2分又面………3分(Ⅱ)因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴、轴、
5、轴建立坐标系，如图所示，则…………………4分yABQDCPxz设，则要使，只要所以，即………6分由此可知时，存在点使得当且仅当，即时，边上有且只有一个点，使得由此可知………8分；设面的法向量则即解得……10分取平面的法向量则的大小与二面角的大小相等所以因此二面角的余弦值为………12分4.三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．A1AC1B1BDC（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．解法一：（Ⅰ）平面平面，．在中，，，，又，，，即．又，平面，平面，平面平面．（Ⅱ）如图，作交于点，连接
6、，由已知得平面．是在面内的射影．由三垂线定理知，为二面角的平面角．A1AC1B1BDCFE（第19题，解法一）过作交于点，则，，．在中，．A1AC1B1BDCzyx（第19题，解法二）在中，．，即二面角为．解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则，，．点坐标为．，．，，，，又，平面，又平面，平面平面．（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则．，如图，可取，则，，5.如图，已知正三棱柱，是线段上一点，且∥平面。记。（1）求的值；（2）若∠，求二面角的余弦值；解：（1）连结交于O，则O是的中点，连结DO。∵∥平面，∴
7、∥DO∴D为AC中点，∴（2）设正三棱柱底面边长为2，则DC=1。∵∠=60°，∴=。作DE⊥BC于E。∵平面⊥平面ABC，∴DE⊥平面，作EF⊥于F，连结DF，则DF⊥∴∠DFE是二面角D--C的平面角……………………在Rt△DEC中，DE=，在Rt△BFE中，EF=BE·sin∠∴在Rt△DEF中，tan∠DFE=解法二：以AC的中D为原点建立坐标系，如图，设
8、AD
9、=1，∵∠=60°∴
10、
11、=。则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），（1，0），，（2）=（-1，0，），设平面BD的法向量为，则，即则有=
12、0令z=1,则=（，0，1）设平面BC的法向量为,=（0，0，），即∴z′=0令y=-1，解得=（，-1，0），，6．如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的余
