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1、www.qpgk.com双曲线中的最值和定值及参数范围的探求方法陕西洋县中学（723300）刘大鸣www.qpgk.com双曲线中的最值和定值及参数范围的探求，常常依据双曲线的特殊性，借助其两个定义和几何性质及渐近线的作用，用方程和不等式及函数知识解决.1用双曲线定义和几何量的关系，构建二次方程求解.例1设双曲线的半焦距c，直线L过两点，且原点到直线L的距离为，求双曲线的离心率.简析：借助题设和几何量的关系构建含离心率的二次齐次式解出离心率。xyoNPF1F2MH由两点式易得直线L方程为bx+ay-ab=0,则，
2、注意到目标意识和几何量的关系构建有，，解得，.即，由于，故.2用双曲线的定义和平几知识探求定值.例2双曲线焦点三角形的内心在定值线上.简析：用定义和内切圆的特殊性探求定值.如图P为左支上的焦点,则
3、PF1
4、-
5、PF2
6、=2a设内切圆I与x轴的切点为H，与两焦半径的切点分别为M,N，由平几知
7、F1N
8、=
9、F1H
10、，
11、PM
12、=
13、PN
14、，
15、MF2
16、=
17、F2H
18、代入定义中有
19、F1H
20、-
21、F2H
22、=2a，由切圆的特殊性知内心I在定直线x=-a上.3用“代点作差法”和第二定义及曲线系探求定值或范围问题.例3在双曲线的一支上有
23、三个点与焦点成等差数列，求证线段AC的垂直平分线经过某个定点简析：用第二定义和“代点作差法”求出垂直平分线方程解出定点.由焦半径公式易知，焦半径成等差数列则对应的某一坐标也成等差数列，故.而在双曲线的一支上，代点作差凑弦AC斜率有，，则AC的垂直平分线方程为，当，故AC的垂直平分线经过定点.4用双曲线的第二定义和三角知识探求焦点三角形面积.例4设双曲线，分别为椭圆上的点和两焦点，=，求椭圆的焦点三角形F1PF2的面积.简析：借助双曲线定义和余弦定理构建关系，用题设探求定值.设=，第3页共3页www.qpgk.co
24、m，用定义和余弦定理得，5用双曲线的定义和平几构建不等式解最值或范围问题.例5点F是x2/16-y2/9=1右焦点，定点A(5,4),已知Px2/16-y2/9=1是右支上的动点.，求4
25、PF
26、-5
27、PA
28、的最大值.简析：由所求4
29、PF
30、-5
31、PA
32、和的特殊性，巧用第二定义化归为平几最值求解.设P1为P在右准线上的射影，A1为A在右准线上的射影，则4
33、PF
34、-5
35、PA
36、=5（
37、PA1
38、-
39、PA
40、5
41、A1A
42、.当且仅当A,P,P1，A1共线时取最大值.此时的最大值为.即4
43、PF
44、-5
45、PA
46、的最大值为9.6用双曲线
47、的定义和几何条件构建不等式解范围.例6设点P到点M(-1,0)、N(1,0)距离之差为2m,到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.简析：以“直接法和定义法求轨迹方程”为背景，考察曲线的几何性质.由几何条件和非负数条件构造不等式解范围.0AB设P(x,y),依题设直接法有
48、x
49、/
50、y
51、=2,则y=2x,x≠0,因此，点P(x,y)，M（-1，0）,N（1，0）三点不共线，有
52、
53、PM
54、-
55、PN
56、
57、<
58、MN
59、=2,而题设有
60、
61、PM
62、-
63、PN
64、
65、=
66、MN
67、=2
68、m
69、>0,则0<
70、m
71、<1(隐含条件的挖掘)因此，点P在
72、以M,N为焦点，实轴长为2
73、m
74、的双曲线上，故x2/m2-y2/(1-m2)=1,将y=2x,代入方程中解得x2=m2(1-m2)/(1-5m2),由于0<
75、m
76、<1，所以有1-5m2>0,解得0<
77、m
78、<.m的取值范围为（-，0）∪（0，）.7利用双曲线的渐近线和双曲线的关系解某些无理不等式.例7解不等式.简析：函数认识不等式为两函数值不等时自变量所满足的关系，解不等式往往可构建两函数位置关系，数形结合求解。设是双曲线的上支，是恒过定点的直线系，如图，当时，只有公共点，原不等式解集为；时，两图象有两个交点.第3
79、页共3页www.qpgk.com陕西洋县中学刘大鸣电话0916-8215676第3页共3页
