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1、圆锥曲线中轨迹问题曲线轨迹方程的探求一直是高考中的重点和热点，涉及面广，综合性强。曲线轨迹方程的探求有两种类型，第一种类型是几何关系已知，轨迹未知；第二种类型是曲线形状已知，求方程。类型一常用的方法有直接法、相关点法和参数法。类型二常用的方法有定义法和待定系数法。（1）直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何的基本知识推出等量关系，求方程时便可利用直接法。（2）定义法：如果所给几何条件能够确定符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。（3）相关点法：如果动点P（x，y）依赖于另一
2、动点Q（a，b），而Q（a，b）又在某一已知曲线上运动，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便可得出动点P的轨迹方程，又称为代入法。（4）参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，如求两动直线的交点时常用这种方法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。（6）几何法：利用平面几何或解析几何的有关基础知
3、识去分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后求出动点的轨迹方程。热点透析题型1：直接法【例1】已知定点A、B，且AB=2a。如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2：1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？【解】本题首先要建立坐标系，建立坐标系的要求是保持对称性，以使所求方程简单，容易看出方程表示什么曲线。如图，取AB所在的直线为x轴，从A到B为正方向，以AB的中点O为原点，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（-a，0）、B（a，0）。设P（x，y）。∵ 即化简整理，得，即。这就是动点P的轨迹方程。它表示以为圆心，为
4、半径的圆。热身训练1已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.解:建立坐标系如图所示，设
5、AB
6、=2a,则A(－a,0),B(a,0).设M(x,y)是轨迹上任意一点. 则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得 (1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0 (1)当λ=1时，即
7、MA
8、=
9、MB
10、时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴). (2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0. 点M的轨迹是以(－，0)为圆心，为半径的圆.热身训练2
11、、给定抛物线y2=8(x+2)，其焦点和准线分别是椭圆的一个焦点和一条准线，求椭圆的短轴端点的轨迹方程。解：抛物线y2=8(x+2)的焦点为（0，0），准线为x=-4,由题意知，x=-4必为椭圆的左准线，设椭圆短轴端点为B(x,y)(1)若（0，0）点为椭圆左焦点，则c=x,b=,e=, 由定义得(2)若（0，0）点为椭圆右焦点，则c=-x,b=,e=,而左焦点为（2x,0）, 由定义得题型2：定义法【例2】已知方程为，定点A（4，0）。求过点A且和相切的动圆圆心P的轨迹。【分析】由于动圆过A点，所以
12、PA
13、是动圆的半径。当动圆P与圆O外切时，
14、PO
15、
16、=
17、PA
18、+2，即
19、PO
20、-
21、PA
22、=2；当动圆P与圆O内切时，有
23、PO
24、=
25、PA
26、-2，所以有
27、
28、PO
29、-
30、PA
31、
32、=2。可以看出动点P的运动满足双曲线的定义，因此可将问题转化为用定义法求轨迹方程。【解】设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点A，所以
33、PA
34、是动圆半径。 当动圆P与外切时，
35、PO
36、-
37、PA
38、=2； 当动圆P与内切时，
39、PA
40、-
41、PO
42、=2； ∴有
43、
44、PO
45、-
46、PA
47、
48、=2。 ∴P点的轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线， 中心在OA的中点（2，0），实半轴长为a=1，半焦距c=2，虚半轴长。 ∴所求点P的轨迹方程为。【例3】
49、已知双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，且以y轴为右准线，并过定点R（1，2）。（1）求此双曲线右焦点F的轨迹；（2）过R与F的弦与右支交于Q点，求Q点的轨迹方程。【解】（1）， 又， ∴，设右焦点F（x，y），由双曲线定义，得 ， ∴。 ∴双曲线的右焦点F的轨迹是以（1，2）为圆心，为半径的圆。（2）设Q（x，y），由双曲线的定义得 ， ∴， ∴，即。热身训练1 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，问怎能样运才能最省工？解：半圆上的点可分为三类：
50、一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。 其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为
