不等式与其它知识交汇问题归类分析

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1、不等式与其它知识交汇问题归类分析福建省特级教师郑一平不等式是高中数学的重要内容，是分析解决其它问题的工具，且贯穿高中数学的始终。近几年高考把对不等式知识的考查渗透在集合、函数、数列、导数、解几等知识交汇问题中，对基本知识、思想方法、解题技巧等方面进行全方位的考查。因此对不等式的复习除了复习基本知识、常用方法外，特别要注意关注不等式与其它知识的交汇，以便全面、系统地掌握不等式内容要求。一．与其它代数知识交汇问题例析1．以集合知识为载体，考查不等式概念及其解法这类问题主要以客观性试题形式出现，文科有时也以解答题出现

2、，但主要考查集合概念和不等式性质，特别是含参数的一次、二次不等式和分式不等式解法等。例（2007年，北京卷）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（I）若，求；（II）若，求正数的取值范围．分析与略解：（I）由，得．（II）．由，得，又，所以，即的取值范围是．评析：上述问题往往难度不大，解决的关键必须熟练掌握基础知识、基本方法和基本技能，有时还要善于挖掘问题中隐含的条件，注意对参数的分类讨论，保证问题解决的准确。2．以函数为载体，考查不等式与函数的交汇函数与不等式关系密切，函数的定义域、值域等都涉及不等式问题

3、，因此以函数知识为载体，考查不等式与函数的交汇成为高考的重要考查内容之一。例(2007江西高考)已知函数在区间(0，1)内连续，且．（1）求实数k和c的值；（2）解不等式。分析与略解：（1）因为，所以；由，即，．5（2）由（1）得，由得，当时，解得；当时，解得，所以的解集为．评析：涉及函数与不等式交汇问题若能熟练掌握函数的性质，或抓住图形几何特征，利用数形结合解决，则能化难为易，化繁为简。3．以数列为载体考查不等式与数列交汇问题例（2007年，江西卷）设正整数数列满足：，且对于任何，有．（1）求，；（2）求数列

4、的通项．分析与略解：（1）据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．（2）由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得，5因为时，，所以．，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．评析：本题（1）由条件分析采用分析法容易处理。（2）由（1）知，，，易猜想：．利用数学归纳法容易证明猜想正确。涉及与自然数有关问题常考虑数学归纳法，而数列问题更应如此。但问题涉及不等量问题，利用夹逼思想是突破本题解决的关键。二．与向量、圆锥曲线

5、交汇问题例析1.以向量知识为背景考查不等式与向量知识的交汇这类问题常以向量形式出现，利用向量知识即可转化为不等式问题，再结合不等式有关性质解决。例已知为实数，求关于的不等式：的解集.分析与略解：，化简得：.（1）当=0时，不等式的解集为｛｝.（2）当＞0时，不等式化为。①当不等式的解集为｛｝；②当不等式的解集为｛｝；③当不等式的解集为｛或＜｝.（3）当＜0时，不等式化为，由＜2，故当＜0时，解集为｛＜＜52｝.综上所述，不等式的解集为：当＜0时，不等式的解集为｛＜＜2｝；当=0时，不等式的解集为｛＜2｝；当0＜

6、＜时，不等式的解集为｛或＞｝；当=时，不等式的解集为｛｝；当＞时，不等式的解集为｛｝.评析：本题根据向量知识对原不等式进行了化简，转化为不等式，由于二次项系数含有参数，就必须对参数进行合理的逻辑划分。此类问题有时在一级划分后还须进行二级划分，同时还需对根的大小进行比较。2．以解析几何知识为载体考查不等式与解析几何知识的交汇在解析几何中点与曲线的位置关系有：点在曲线上和点在曲线外。若曲线是封闭的，则有：点在曲线内；点在曲线上；点在曲线外。利用点与曲线的这种位置关系就可以化等量为不等量，达到考查不等式的目的。例（2

7、007全国Ⅱ）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．分析与略解：（1）依题知圆的半径等于原点到直线的距离，即．得圆的方程为．（2）不妨设．由即得．设，由成等比数列，得，即．由于点在圆内，故，由此得．又，所以的取值范围为．评析：这类问题解题的核心是如何把等量关系转化为不等量关系，必须从条件分析中获取信息。本题在求得后，抓住点在圆内，则，又在曲线上，把5等量关系转化为不等量关系，达到问题的解决。5