9第九章 方差分析及回归分析

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1、第九章方差分析及回归分析§1单因素试验的方差分析方差分析是对试验结果所得数据作分析的一种常用的数理统计方法。在第八章曾讨论过两个正态总体均值是否相等的假设检验法，在那里建立了t检验法，本章要讨论三个或三个以上正态总体的均值是否相等的假设法。当试验中仅有一个因素在改变，其他保待不变的情形称为单因素试验，因素所处的状态称为水平，例子见书P270例1，2，例3则为多因素试验法。对例1，数据（表9.1）可看成来自三个不同的总体的样本值，为各个总体的均值，需检验假设一般地，设因素A有s个水平，今考虑这s个水平对于某总体X的效应：设在每个水平下，总体服从，其中均未知。在下，取得样本为并假定这

2、S组样本相互独立。(表9.4)AA………..样本总和样本均值总体均值下面用线性模型加以研究故=称作随机误差。或写+，i=1,2,…,n~j=1,2,….s.其中是相互独立的随机变量列，常称不可观察随机变量。记总平均，其中n=.令（1.4）称它为水平的效应，它反映因素在第j个水平下对试验指标的“纯”作用大小，易知之间的差异是等价的，且由（1.2）,(1.3）知……….（1.5）于是（1.1）的数学模型可改写为当不同的水平并不影响总体时，即在水平下有这时反之，若在某些水平下对总体有影响，这时相应的值就不为0。方差分析的任务是寻求一个统计量，对未知参数作假设检验，即假定有S个正态总体去

3、检验假设法国数学家费歇尔（Fisher）在对总平方和作深入分析后，获得适当的统计量。具体分析为记为第j个总体的样本均值为第j个总体的样本方差为样本总平均为总离差平方和或总变并差下面分析但是故若令，…...(1.12)则其中反映样本内部随机误差，称样本组内平方和或误差平方和。（书上称误差）反映样本之间差异，称样本组间平方和。（书上称因素）此外，若记，于是，由（1.5）,(1.6)式，就有这时式（1.12）可改写为由此可见只与有关，不仅与且与有关，再由式(1.12)及(1.15)就有注意到仅有一个约束条件式（1.10）,故自由度为n-1有S个约束条件式（1.8）。。。。。。。。。。为

4、n-s则有如下一个约束条件式：故自由度为s-1.所以，由式（1.16）知是（n-s）个服从N(0,1)的独立随机变量的平方和，因有~——（1.18）而当成立时，因为且相互独立所以~又可证与独立，且当成立时有~所以当成立时，就有对已给水平，存在数使得故得拒绝域的区域为式(1.15)反映重复试验中误差的总大小，而反映各总体样本平均之间差异程度，而是的无偏，有效估计量，故一定程度所映假设是否成立，如>>,说明可能不成立，故称这种比较方差大小来断定是否成立方法为方差分析法。单因素方差分析表方差来源平方和自由度均方F比组间（因素）s-1F=组内（误差）n-s总和n-1拒绝域：F>简便计算，

5、和的公式为：记则关于未知参数的估计即是无偏估计且所以的无偏估计。当被拒绝时，不全为0，但当拒绝时，需求的区间估计及并且独立，故置信区间为例子见书P280例5，例6§2双因素试验的方差分析P.272例3是一个双因素试验和例子再如在橡胶生产过程中，不同的配料方案与与不同的硫化时间影响着橡胶的抗断强度，这又是一个双因素试验的例子，一般当硫化时间不同时，不同的配料方案对生产的影响往往不是一样的，这两个因素对橡胶的抗断强度起着交互作用。检验两因素的交互作用是否存在是双因素的方差分析与单因素方差分析的一大差别。（一）双因素无重复试验的方差分析设对总体X影剧院响的有A，B两个因素，对A有r个水

6、平这样每一对组合作观察可得观察值共rs个数据（见表9.14P.291）.设它们相互独立，假定，并且其中且此处假定两因素A，B无交互作用。表示A因素的各个水平影响的大小。…….B………………………………..。要检验的假设为：与单因素时想法一样，考察总平方和记并写其他交叉乘积项均为0，只举一例。令：故可写注意到式（2.1）并令则可改写并且又因中有一线性关系（约束条件）故的自由度为rs-1.中有一线性关系故自由度为r-1.中有一线性关系故的自由度为s-1中有线性关系：及又这r+s个关系不是独立的，只因有线性关系式可由其他r+s-1个线性关系式得出，故自由度为易知在成立时，有故在成立时，

7、有在成立时，有…(2.12)故对已给水平，的拒绝哉各为；………..(2.13)P.292列出了表9.15.(二)双因素等重复试验方差分析设有两因素A，B，A有水平B有水平；对每组作t(次重复试验得表9.8(P.282)设；且各个称为总平均。为A与B的每个水平搭配后总体期望平均值。为B与A的每个水平搭配后总体期望平均值。为的效应为的效应。易知………….(2.15)显然=同理作检验假设：记则总平方和可证各有自由度为rst-1,rs(t-1),r-1,s-1,(r-1)(s-1)并且同