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1、...第九章回归分析教学要求1．一元线性回归及线性相关显著性的检验法，利用线性回归方程进行预测。2．可线性化的非线性回归问题及简单的多元线性回归。本章重点：理解线性模型，回归模型的概念，掌握线性模型中参数估计的最小二乘法估计法。教学手段：讲练结合课时分配：6课时§9.1一元线性回归回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。例如，人的血压y与年龄x有关，这里x是一个普通变量，y是随机变量。Y与x之间的相依关系f(x)受随机误差的干扰使之不能完全确定，故可设有：yf(x)（9.1）式中f(x)称作回归函数，为随机误差或随机干扰，它是一个分布与x无关的随机变量
2、，我们常假定它是均值为0的正态变量。为估计未知的回归函数f(x)，我们通过n次独立观测，得x与y的n对实测数据(xi,yi)i=1,⋯⋯,n，对f(x)作估计。实际中常遇到的是多个自变量的情形。例如在考察某化学反应时，发现反应速度y与催化剂用量x1,反应温度x2,所加压力x3等等多种因素有关。这里x1,x2,⋯⋯都是可控制的普通变量，y是随机变量，y与诸xi间的依存关系受随机干扰和随机误差的影响，使之不能完全确定，故可假设有：yf(x1,x2,,xk)(9.2)这里是不可观察的随机误差，它是分布与x1,⋯⋯,xk无关的随机变量，一般设其均值为0，这里的多元函数
3、f(x1,⋯⋯,xk)称为回归函数，为了估计未知的回归函数，同样可作n次独立观察，基于观测值去估计f(x1,⋯⋯,xk)。以下的讨论中我们总称自变量x1,x2,⋯⋯,xk为控制变量，y为响应变量，不难想象，如对回归函数f(x1,⋯⋯,xk)的形式不作任何假设，问题过于一般，将难以处理，所以本章将主要讨论y和控制变量x1,x2,⋯⋯,xk呈现线性相关关系的情形，即假定f(x1,⋯⋯,xk)=b0+b1x1+⋯⋯+bkxk。并称由它确定的模型(9.1)(k=1)及(9.2)为线性回归模型，对于线性回归模型，估计回归函数f(x1,⋯⋯,xk)就转化为估计系数b0、b
4、i(i=1,⋯⋯,k)。当线性回归模型只有一个控制变量时，称为一元线性回归模型，有多个控制变量时称为多元线性回归模型，本着由浅入深的原则，我们重点讨论一元的，在此基础上简单介绍多元的。§9.1.1一元线性回归一、一元线性回归的数学模型......前面我们曾提到，在一元线性回归中，有两个变量，其中x是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y与x之间存在着显著的线性相关关系，即y与x之间存在如下关系：y=a+bx+(9.3)通常认为～N(0,σi,yi)(i=1，⋯⋯，n)代2)且假
5、设σ2与x无关。将观测数据(x入(9.3)再注意样本为简单随机样本得：yabxi(iii,独立同分布(0,1Nn1,2,n))(9.4)称(9.3)或(9.4)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。对其进行统计分析称为一元线性回归分析。不难理解模型(9.4)中EY=a+bx，若记y=E(Y),则y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b为回归系数，a称为回归常数，有时也通称a、b为回归系数。我们对一元线性回归模型主要讨论如下的三项问题：(1)对参数a，b和σ2进行点估计，估计量a?,b?称为样本回归系数或经验回归系数
6、，而y?a?b?x称为经验回归直线方程，其图形相应地称为经验回归直线。(2)在模型(9.3)下检验y与x之间是否线性相关。(3)利用求得的经验回归直线，通过x对y进行预测或控制。二、a、b的最小二乘估计、经验公式现讨论如何根据观测值(xi,yi)，i=1,2,⋯⋯,n估计模型（9.2）中回归函数f(x)=a+bx中的回归系数。采用最小二乘法，记平方和n
2Q,b(ytabxt)(9.5)......(a)t1找使Q(a.b)达到最小的a、b作为其估计，即?Q(a?,b)minQ(a,b)a.b2Q2a2tn[ytabx]t01为此，令Q22b2tn(ytabx
7、t)xt01化简得如教材所示的方程组(称为模型的正规方程)?bLxyLxx解得(9.6)a?y?bx(9.6)所示的a?,b?分别称为a、b的最小二乘估计，式中nnn122Lxxxxx(xiiini1i1i12)......nnnn1Lxy(xx)(yy)xy(x)(yiiiiiini1i111)称y?a?b?x为经验回归(直线方程)，或经验公式。例1某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有关。下表是24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的实测记录。试求这两个变量间的经验公式。编号123456789101112拉伸倍数x1.92.02.12.52.72.73.53.54
8、.04.04.54.6强度y1.41.
