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1、第九章、方差分析及回归分析§1单因素试验的方差分析（一）单因素试验试验指标：在试验中，要考察的指标称为试验指标。因素：影响试验指标的条件称为因素。水平：因素所处于的状态称为水平。单因素试验和多因素试验：试验中只有一个因素在改变称为单因素试验，如果多于一个因素在改变称为多因素试验。方差分析：根据试验的结果进行分析，鉴别各个因素对试验结果的影响的一种分析方法。化学生产中，因素有：原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、反应时间、机器设备、操作人员水平等。目的：决定各种因素，使生产过程得以稳定。方法：先进行试验。试验的分析：利用方差分析来分析试验的结果
2、。根据影响试验结果的因素的多少分为单因素试验的方差分析和多因素试验的方差分析。两个例子第一个例子用三台机器来生产相同的铝合金薄板，测量薄板的厚度如下表：这里指标是薄板的厚度；因素是机器不同，其他的都相同。问题是：机器这一因素对厚度有无显著影响？第二个例子随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间，如下表所示（单位是毫秒）试验的指标是电路的响应时间；考虑的因素是电路类型；目的：是考察电路类型对响应时间有无显著影响。机器1机器2机器30.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2
3、640.2590.2670.262类型1类型2类型3类型4191522201820402133271617151826182219第三个例子一火箭使用四种燃料，三种推进器做射程试验。每种燃料与美中推进器的组合个发射火箭两次，得射程如下：试验指标：射程；因素：推进器（三个水平）、燃料（四个水平）；目的：考察推进器核燃料这两个因素对射程是否有显著影响。推进器(B)B1B2B3燃料(A)A158.252.656.241.265.360.8A249.142.854.150.551.648.4A360.158.370.973.239.240.7A475.871
4、.558.251.048.741.4问题的讨论--（单因素试验）对于例1在因素的每一个水平下进行独立试验，其结果是一个随机变量；表中的数据看成是来自三个不同总体的样本值；若记各个总体的均值依次为μ1，μ2，μ3；则按题意需检验假设H0:μ1=μ2=μ3，H1:μ1，μ2，μ3不全相等。若假设个总体为正态变量，且方差相等，但参数未知。这就变为检验同方差的多个正态总体均值是否相等的问题。而方差分析法就是解决这一问题的一种统计方法。单因素试验的方差分析设因素有S个水平，在水平Aj(j=1,2,…,s)下，进行nj(nj≥2)次独立试验，结果如下：水平观察结
5、果A1A2…AsX11X21…X11X21…………X11X21…样本总和样本均值总体均值T.1X.1μ1T.2X.2μ2………T.sX.sμs假定，各个水平Aj(j=1,2,…,s)下样本X1j，X2j，…，来自具有相同方差σ2，均值分别为μj(j=1,2…s)的正态总体，μj和σ2未知且在不同水平Aj下的样本之间相互独立。Xij-μj可以看成是随机误差。记为Xij-μj=εij，则Xij可以写为Xij=μj+εijεij~N(0,σ2),各εij独立i=1,2,…,nj,j=1,2,…,s(1,1)称为单因素方差分析的数学模型。(1,1)方差分析的
6、任务检验s个总体的均值是否相等，即检验假设作出未知参数的估计若记的加权平均为再引入表示总体平均值与总平均的差异，称为水平Aj的效应。这时模型（1.1)可以改写为：（1，2）（1，3）（1，4）而假设（1.2)等价于假设我们来导出上述假设检验的检验统计量。(1.1)’(1.2)’(二）平方和的分解引入总偏差平方和（或总变差）与总平均：即水平Aj下的样本均值为这时，可以将ST写成：（1，5）（1，6）（1，7）上式的第三项为若记SE称为误差平方和，SA表示Aj水平下的样本均值与数据总平均的差异，叫做效应平方和，他是由水平Aj的效应的差异以及随机误差引起的
7、。（1，8）则得ST=SE+SA，（1，9）（1，10）（三）SE，SA的统计特性1、SE的统计特性由于是总体的nj-1倍，所以由于独立，（1，11）中各式独立，根据分布的可加性，得（1，11）（1，12）可以计算这里2、SA的统计特性，它是s个变量的平方和，且仅有一个线性约束条件:因此的知SA的自由度是s-1。（1，13）（由（1，3），（1，6）及Xij的独立性得知经计算（1，14）（1，15）可以证明SE，SA的是相互独立的，且H0当为真时（四）假设检验问题的拒绝域由（1，15）式，当H0为真时所以SA/(s-1)是σ2的无偏估计,而当当H1为
8、真时，这时而由于（1，16）（1，17）（1，18）（1，19）所以，SA/(n-s)是σ2的无偏估计由于所
