回归分析与方差分析

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1、9.1回归分析"冋归”（英文"regression”）是由英国著名生物学家兼统计学家高尔顿（Galton）在研究人类遗传问题时提出來的•为了研究父代与子代身髙的关系，髙尔顿搜集了1078对父亲及其儿子的身高数据.他发现这些数据的散点图大致呈直线状态，也就是说，总的趋势是父亲的身高增加时，儿子的身高也倾向于增加.但是，髙尔顿对试验数据进行了深入的分析,发现了一个很有趣的现象一冋归效应.因为当父亲高于平均身高时，他们的儿子身高比他更高的概率耍小于比他更矮的概率；父亲矮于平均身高时，他们的儿子身高比他更矮的概率耍小

2、于比他更高的概率•它反映了一个规律，即这两种身高父亲的儿子的身高，有向他们父辈的平均身高回归的趋势.对于这个一般结论的解释是：大自然具有一种约束力，使人类身高的分布相对稳定而不产牛两极分化，这就是所谓的回归效应。高尔顿依试验数据还推算出儿子身高（卩）与父亲身高（*）的关系式7=a+bX它代表的是一条直线称为冋归直线，并把相应的统计分析称为冋归分析.对于其它能反映变量相关关系中具有冋归效应的现象分析，冋归一词得以沿用•但是，上式仅反映了变量相关关系的一利「特殊情况，对于更多的相关关系，特别是涉及多个变量的情况，

3、并非如此将对应的相关分析，都称为回归分析，不一定恰当•可是，这个词却一直沿川下来.9.1.1一元线性回归设变量x和丫之间存在着相关关系，其中x是口J以精确测量或可控制的变量（非随机变量），丫是一个随机变量•假定丫和X存在着线性相关关系.先看一个例子.例9.1.1考察某种化工原料在水中的溶解度与温度的关系，共作了9组试验.其数据如表9.1.1所示，其中丫表示溶解度，x表示温度.表9.1.1温度双叱）01020304050607080溶解度丫@）14.017.521.226.129.233.340.04&054.

4、8图9.1.1画出散点图，见图9.1.1,这些点虽然是散乱的，但大体上散布在某条直线》=的周围，即是说温度x与溶解度丫Z间大致呈现线性关系y=a-rbx其中》不是丫的实际值V,是估计值.-•般地，川线性函数a+bx来估计丫的数学期與的问题，称为一元线性回归问题.称方(9.1.1)y=a+bx为丫的关于x的线性回归方程•称斜率“为回归系数•对于x的每个值，设(9.1.2)或Y=a^bx+8e~N©K）9其屮是与兀无关的常数.对于已知数据（吗，X）°=1，2,…，血），川最小二乘法來估计&和“，有离差平方和£=

5、艺5-a-加尸I（9.1.3）为了使Z取得最小值，将Z分別对。和“求偏导数，并令它们等丁零，得nEOi-a-地）=02-1nEOi-a-地）召=o(9.1.4)J-l或者写成由于na2-12-1=£x必2-12-12-1(9.1.5)y则(9.1.5)式可以写作na+nxb=(9.1.6)(9.1.7)(9.1.8)方程组（9.1.8）称为正规方程组.因为心（21,2,…‘②不完全相同，所以方程组（9.1.8）的系数行列式nxnxnorid琳艺才-沫彳）=尢另（坞一无）22-12-1人于零，故方程组（9.1.

6、8）有唯一的一组解必-my刀(吗一初(”一刃4-z»X"12—2一曲d=y-bx刀（吗-初1-1(9.1.9)匚=±（忑一疔二艺才-丄（Ed2-12-1Z花曲"1左左如=£（石-刃（H-刃=£x必-一（£“）（£〃）2-1Z(9.1.10)i-li-l5=S0i-y）2--（Z^）2z2-anz分别称&和。为X和F的离差平方和，称'卩为X和F(9.1.11)(9.1.12)的离差乘积和•则冇4型Ja=y-bx(9.1.13)(9.L14)将（9.1.13）代入到冋归方程（9.1.1）中，则得到经验回归方程y=

7、a--bx（9.1.14）式中的歹与（9.1.1）式中的夕不同，夕山理论冋归方程（9.1.1）所确定的对应于数值x的随机变量丫的数学期望，而歹是由经验回归方程（9.1.14）所确定的对应于数值x的随机变量F的数学期望的估计，它将会随着观测值的不同而变化.歹称为回归值.在直角处标系中，方程（9.1.14）是一条宜线，因此称为经验回归直线.将a=y-bx代入（9.1.14）式屮，可得=（9.115）此式表明，对于一组观测值（帀，兀），（毛，九），…，（心，儿）,经验回归直线（9.1.14）通过散点图的儿何中心（

8、&歹）.例9.1.2求例9.1.1中溶解度$关于温度x的线性回归方程.解：由表9.1.1数据，列表计算，如表9.1.2ny}1014.000196.0021017.5100175306.2532021.2400424449.4413026.1900783681.2154029.216001168852.6465033.3250016651108.8976040.0360024001600.00870