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1、第9章回归分析及方差分析9.1回归分析的概念变量间的关系确定性关系（函数关系）：非确定性关系（相关关系）:客观世界中普遍存在着变量之间的关系，大致可以分为两类:y=fM；z=f（x,y）等；如人的体重与身高、血压与年龄、气象屮的温变与湿度等.这种非确定性关系大量存在•比如人的身高兀大时一般地说其体重Y也倾向于大.但身高兀相同的人其体重丫也不完全相同.又比如，气象中空气的湿度丫与温度兀有关.温度不同，湿度也会不同.但即使在温度兀相同的情况下，空气的湿度也不完全相同.这两个例子中变量兀和丫的关系也是相关关系.研究变量间相关关系的统计分析方法称为回归分析.以上的
2、例子中，兀通常称为自变量，丫通常称为因变量或响应变量.当自变量工的值确定之后,因变量丫的值还不能完全确定，把它看作随机变量.若兀的值确定，对应的随机变量Y的值虽不能完全确定，但丫的数学期望应随之确定，它是工的函数，记作“任），称为丫关于的回归函数.自变量兀与因变量Y之间的关系可描述为模型：Y=“（兀）+£9（1）其中£是随机误差，满足=0.模型（1）中只有一个自变量，基于这个模型的统计分析称为一元回归分析.若“（对是X的线性函数，即“O）=0o+01X，模型（1）可化为：丫=0。+01兀+£,（2）其中0。是常数项，A称为回归系数.模型（2）称为一元线性回
3、归模型，基于（2）的统计分析称为一元线性回归分析.回归函数“（X）是未知的.回归分析的任务就是，用所获得的关于兀和丫的观察值估计“（兀）,讨论有关的假设检验与区间估计问题，并利用对于“（X）的估计进行预报等.为了确定“（X）的形式可根据专业知识或经验，也可通过画散点图获得帮助.对于变量（X,。作n次观察,得到n对观察值Gw）（兀2,为），・••，（£，儿）.将每对观察值（””），（21,2,…丿）所对应的点在直角坐标系中描出，得到散点图•由于X•中包含了随机误差,因此其观察值％在“（兀）周点（无］,必），（勺，儿），…，兀宀儿）分布在曲线Y=//（%）附近
4、.散点图如图1所示，则可将“（兀）取为兀的线性函数；若散点图如2所示，则将“（Q取为兀的线性函数显然是不妥当的.这种情况将在后面详细讨论.图1散点图I（）X图2散点图II线性回归的应用［预测问题在一定置信水平下’估计岀当"取某一值酬随机变量丫取值的情况;沃I土」门口控制问题：在一定置信水平下，控制自变量兀的取值范围，使Y在给定的范围取值.9.2一元线性回归的截距和斜率.还假定EW本节考虑一元线性回归模型：丫=0o+0m+£，（1）其中00和01都是未知参数.00和0是直线“（兀）=0（）+0XVar^）=a2>0.十称为误差方差,它也是未知参数.对于一
5、元线性回归，估计“（兀）的问题就转化为求仇和属的估计问题.用适当的统计方法获得炕和肉的估计值久和A之后，对于给定的兀就可用齢BX作为“（无）=0。+0兀的估计.称〃（x）=Po+加为丫关于兀的经验回归函数.M：y=A+Ax,（2）称为丫关于x的（经验）线性回归方程，或（经验）回归方程，其图形称为（经验）回归直线.在一元线性回归分析中主要解决三个问题:（i）对未知参数00、01和/作点估计，由此获得回归方程;（ii）对回归系数01作假设检验；（iii）对于自变量兀的给定值兀0,对相应的因变量Y的取值人作预测.—X00和01的估计及其性质1.00和0］的最小
6、二乘估计对于自变量X和因变量y的n对观察值（兀11）,（兀2，儿），•••，（£，儿）（这里要求州，兀2,…心不全相同），由式⑴知：E=0o+0k+务（i=l,2,…，n）,⑶其中®是对乙观察时的随机误差.假设即5…心两两不相关且与⑴中的£同分布,%）=0,畑6）">0,（i=1,2,…,n）・把式⑶和关于£.的假设放在一起称为模型（3）・下面用最小二乘法求0。和01的估计.假设0。和01的估计已经求出，记为久和A・得到回归函数00+0M在旺点的估计：//K£=久+p內，（i=l，2，・・・,n）,称X为回归值，也称为预测值.（£实际上是E（K）的估计）
7、.另一方面，因变量Y的观察值乙也已获得，见图1・当然希望它们之间的偏差勺=X-X-n（i=l,2,…,n）越小越好.0。和属的合理估计应使工①一刃尸达到最小.1=1记0（00，0）=工（％-0。-0內）2,（4）使得㈣0（00，01）=。（00，01）,⑸Z=1卩（）4成立的久和R称为00和A的最小二乘估计.此法称为最小二乘法.=-2-0o-0內)=000()/=!=Ty=一2工(X-00-01无)无=0201告AnAn7200+DA=E/=1、工无0（）+工彳01=0』/=1式（6）称为正规方程组.其系数行列式为1=1、i=i（工兀）2=吃（兀•一兀
8、）2,使用微分法求Q（0o,0J的最小值点.可令—1pn其中X=・
