2010数学建模a题 油罐问题思路

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1、2010油罐问题思路问题一：解题的总思路是采用微元法求体积。（1）罐体无变位时的罐容体积模型：当油罐无变位时，取小椭圆油罐截面椭圆，建立适当的坐标系如右图所示：利用椭圆曲线方程，沿右半椭圆曲线对y积分,从而求出小椭圆油截面积为,由此得出罐体体积。为验证模型的准确合理性：取附录一数据中的高度h代入体积公式算出对应的剩余油量理论值，将其与实际剩余值进行曲线拟合。（2）纵向变位倾斜角时的罐容表标定模型：同样利用积分思想求变位后的体积，对油罐正面示意图建立相应的坐标系，如下图所示：其中根据上图可求得横坐标油面的高度为：根据罐油量的多少，可

2、以将它分为三种类型讨论：①当，如右下图所示：可求得油罐量的体积为：7②当时，如下图所示：可求得油罐量的体积为：③当时，如图所示：可求得油罐量的体积为：然后进行模型的验证：由附件1实验数据中的各高度得到储油量中的理论油量，将理论油量与实际的相比较找出它的变化规律，作出误差分析，判断模型建立的合理性。根据上述得到的储油罐发生变位时体积关于h的公式，则可以算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的灌容表标定值。问题二：要得出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b）之间的一般关系，只需计算出油罐内油料体积，将油罐体积分为

3、三部分，两侧球缺体积和中间圆筒体积。1两侧球缺体积的计算7图3储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图β地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置3m设油位高位为h，则油面到罐底的最大垂直距离H=r−(r−h)cosβ。由下图易知7根据球缺油量的情况，可分为三种情况讨论，（1）当H1≤3,H2≥0时可得出：7设高为x，则h=r-x，于是:又因为此时，可得到：（2）当H1≤3,H2≤0时易得（3）当H1≥3也易得2中间圆筒部分体积的计算由“问题一”中椭圆部分面积公式可推出，半径为R高为t的弓形面积：同样，

4、根据油量可将中间圆筒的体积分为三部分，7（2）（3）当时，此时=中间部分总体积−上部空余体，空余体积用（2）中公式计算。只是将7综上所述，可知油罐总油量为：我们得到了罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b）之间函数。再利用最小二乘法对α、β的值进行估计。文燕、晓冬7