大学数学（第二层次）期中试卷参考答案（2012.11.24）

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1、大学数学（第二层次）期中试卷参考答案（2012．11．24）一、解答下列各题（每小题6分，共48分）1．求。解：原式。2．求。解：原式。3．设，求此函数之反函数的导数。解：，由，解得。由，知。4．求函数的间断点，指出间断点类型，并简要说明理由。解：函数在处无定义故间断。由，知为可去间断点。5．设，求的一阶及二阶导数。解：，。36．证明当时，不等式成立。证明：令，由拉格朗日中值定理，有，即，其中。由得。即证。7．用“”语言证明。证明：，取，则当时，就有：　　　。故有：。8．求函数的所有原函数。解：，其中C为任意常

2、数。二、（12分）设　，求在处的一阶及二阶导数，并判断在处是否有三阶导数。解：在点两侧，函数的一、二、三阶导数均存在，左右极限存在且相等，故在处函数的一、二、三阶导数均存在，计算得：。三、（10分）求带拉格朗日余项的三阶麦克劳林展开式。解：，容易算得：。故所求展开式为：　　，其中。四、（8分）设数列满足，，证明有极限，并求极限。答：数学归纳法易证3单调下降，大于2，由单调有界原理知其有极限。设其极限为A，则由数列定义得，解得或，由知极限为2。五、（14分）求函数的定义域、单调区间、曲线的凹凸区间、极值点及拐点，

3、求渐近线，并画出函数曲线的草图。解：，。0（0，1）1（1，2）2＋无定义＋0－无定义－＋无定义－－－无定义＋增，凹铅直渐近线增，凸极大值，－2减，凸铅直渐近线减，凹时，故为水平渐近线。无斜渐近线。草图如下：六、（8分）求不定积分。解：　　。3