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《大学数学(第二层次)期中试卷(20120421)new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、大学数学（第二层次）期中试卷（2012．04．21）姓名＿＿＿＿＿＿＿＿＿系别＿＿＿＿＿＿＿＿＿学号＿＿＿＿＿＿＿＿一二三四五六七总分一、简答题（每小题6分，共42分）1．设向量a，b分别为,2,1{−}2及{−}2,1,2，求：（1）a与b夹角的余弦，（2）以a，b为两边的平行四边形的面积。222解：（1）a•b=1×(−)2+2×1+(−)2×2=−4，
2、a=
3、
4、b
5、=1+2+(−)2=3，故：故：cosa,b=−9/4。2−21−212（2）a×b={,−,}=}5,2,6{，12−22−21222故所求为：
6、a
7、×b
8、=6+2+5=65。（注：利用上一小题计算sina,b亦可。）2．求点P)0,0,1(到直线L:⎧x+2y=1的距离。⎨⎩−y+z=1解：易知：直线过M)1,0,1(，方向为l}0,2,1{:×,0{−}1,1=,2{−,1−}1。PM=1{−0,1−1,0−}0=}1,0,0{，所求为以为底边，以lPM为另一边的平行四边形
9、PM×l
10、的高。故等于，计算得/56。（注：通常可以这样做：计算出l，过P以l
11、l
12、为法向作平面，求其与L的交点，再求距离。）⎧x+2y+z=23．求过点P)1,1,1(以及直线L:⎨的平面
13、。⎩2x+y+z=2解：过L的平面束为：(x+2y+z−)2+λ2(x+y+z−)2=0，代入P)1,1,1(，得λ=−1，故所求平面方程为：−x+y=0。（注：有“绕弯做法”，例如：将L写成过M点，方向l；以PM×l为法向，用点向式方程。）34．设隐函数z=z(x,y)由方程xyz+z=2确定，求z=z(x,y)在)1,1,1(处的全微分。3'''2解：记F(x,y,z)=xyz+z−2，则F=yz，F=xz，F=xy+3z，故在)1,1,1(处，xyz三值分别为1，1，4，二偏导数均为-1/4，所求为：−(dx+d
14、y4/)。1xy+yz+xz∂u∂u∂u5．设u(x,y,z)=e+sin(x−y)，求一阶偏导数,,。∂x∂y∂zxy+yz+xzxy+yz+xzxy+yz+xz解：(y+z)e+cos(x−y)，(x+z)e−cos(x−y)，(x+y)e。6．计算∫∫(x+2y)dxdy，其中D是由直线x+2y=4与二坐标轴所围成的平面区域。D24−2y2124−2y212解：(x+2y)dxdy=dy(x+2y)dx=dy⋅(x+2y)
15、=dy⋅(16−4y)∫∫D∫∫00∫0x=o∫0222232=24(−y)dy=4(2y
16、−y
17、)3/=323/。∫y=00∞17．求无穷级数∑的和。n=0n(n+)1N111解：SN=∑[−]=1−，故所求等于1。n=1nn+1N+1x−1y+1z−2二、（12分）设有直线L:==与平面Π:x−y−z=1，求：（1）L与Π的112夹角；（2）L与Π的交点；（3）L在Π上投影直线的方程。,1{−,1−}1}2,1,1{解：（1）Π的法向为,1{−,1−}1，夹角的正弦等于−•=3/2。,1{
18、−,1−
19、}1
20、}2,1,1{
21、（2）联立方程，解得,2/1(−)1,2/3。（注：直线化作参数方程则计算较易。）（
22、3）投影面的法向可取为Π的法向,1{−,1−}1与L的方向的矢积：,3,1{−}2。依点法式得投影面为x+3y−2z+6=0，与Π联立即为投影直线方程。（注：可用平面束求解。）三、（8分）设曲线Γ是参数方程是x=2cost,y=2sint,z=4t，求Γ在点,1,1(π)处的切线方程。π解：x′(t)=−2sint,y′(t)=2cost,z′(t)=4。在,1,1(π)处有t=，故切线方向为4x−1y−1z−π{−}4,1,1，依点向式得切线方程：==。−114222四、（10分）用求条件极值的方法，求曲面x+y+2
23、z−8x−6y+9=0上与原点距离最短的点，并计算此最短距离。222解：距离平方函数为f(x,y,z)=x+y+z，拉格朗日函数为：222222L(x,y,z,λ)=(x+y+z)+λ(x+y+2z−8x−6y+)9。2L′=2x+λ2(x−8),xL′=2y+λ2(y−6),yL′=2z+λ4(z),z222L′=x+y+2z−8x−6y+9λ求解驻点，得：x=4λ/(1+λ),y=3λ/(1+λ)，z=0或λ=−2/1。验算知λ=−2/1时x=−,4y=−3，代入曲面方程时无解。故z=0，代入曲面方程，得λ=−1±
24、4/5。362743因此得二驻点：(,)0,，(,)0,。其至原点的距离分别为9，1。由于曲面为,5,5,5,5椭球面，故此二点即为到原点距离取最大、最小值的点。故答案是：与原点距离最短的43点为(,)0,，最短距离为1。,5,5222五、（10分）设曲面Π是椭圆抛物面z=2x+y，Π是柱面z=1+x，V是由Π与Π1212所围成的
