正余弦定理试讲讲义

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1、正余弦定理及其应用主讲：姚翠玲上节课内容掌握情况验收考纲要求1.理解正弦定理、余弦定理；2.能初步用正弦定理、余弦定理斜三角形．命题规律正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中成为命题热点。用正弦定理、余弦定理求三角形的边、角、判断三角形形状及三角形面积的计算；解三角形除了要正确运用好正弦定理、余弦定理、面积公式及已知三角函数关系式外，对隐含的很多条件，如三角函数的定义、三角形的内角和、诱导公式、勾股定理等，都要综合考虑，这样才能有效地解决问题上次课作业验收1、(2012上海理)在中，若，则的形状是

2、（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2．若的内角、、的对边分别为、、，且，则角A的大小为新课：正余弦定理及其应用考点1正弦定理1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝(2)a＝，b＝，c＝(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝考点2余弦定理在中a2＝，b2＝，c2＝．余弦定理可以变形为：cosA＝，cosB＝，cosC＝.考点3内角和定理面积公式:．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB在中，；；在三角形中大边对大角，反之亦然.考点1正弦定理的应用典例1已知在中，，，，解三角形.解题思路先将已知条件

3、表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解题过程解：，∴，∴，又，∴．易错点拨1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.变式1在中，已知，，，求、.变式2在中，已知，求典例2在，求：和，．解题思路先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解题过程解：由正弦定理得：，∴，∵，，∴，∴即为锐角，∴，∴．易错点拨1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边

4、的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.变式1在中,,,求和；解∵，∴∵，∴或①当时，，；②当时，（舍去）。考点2余弦定理的应用典例1已知中，、、，求中的最大角。解题思路首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.解题过程解：∵三边中最大，∴其所对角最大，根据余弦定理：，∵，∴故中的最大角是.易错点拨中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.变式1在中，若，求角.考点3正弦定理和余弦定理的综合应用典例1在AB

5、C中，内角A，B，C的对边分别为，，c．已知．（I）求的值；（II）若cosB=，ABC的周长为5，求的长。解题思路通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。解题过程解:（I）由正弦定理得：所以即，化简可得又，所以，因此（II）由，得由余弦定得及，得所以又从而因此b=2。易错点拨关键是“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”。变式在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和综合突破判断三角形的形状典例1在△ABC中，在中，分别是角A、B、C所对的边，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状。.解题思路判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路

6、，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理。解题过程方法1：利用余弦定理将角化为边.∵bcosA＝cosB∴∴∴∴故此三角形是等腰三角形.方法2：利用正弦定理将边转化为角.∵bcosA＝cosB又b＝2RsinB，＝2RsinA∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB∴sinAcosB－cosAsinB＝0∴sin（A－B）＝0∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形.易错点拨判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.。总结：本堂课学生学到的知识，学生自我总结。

7、课后作业1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)．A．5B．10C.D．52．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)．A．30°B．45°C．60°D．90°3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)．A．30°B．45°C．60°D．75°4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为(　　)．A．3B．2C．4D.5．已知△ABC三边满