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1、变分法中的EulerLagrange方程作者：徐清华李文潮吴克坚赵东涛赵清波【摘要】能量泛函伴随的EulerLagrange方程在正则性研究中有很重要的价值，在医学数学模型上有广泛的应用前景。主要探讨由极小化思想推导出的EulerLagrange方程的方法，并给出几个实例以供参考。【关键词】变分法;EulerLagrange方程;能量泛函 1引言 古典的变分理论主要是研究泛函的极值和极值点，在19世纪之前，求极值点的问题总是被转化为求解相应的EulerLagrange方程，对于很多问题，特别是高维问题
2、，求解EulerLagrange方程并不是一件很容易的工作。另一方面，从经典力学等问题的研究中，人们往往可以得出下面的结论：自然界的众多效应遵从一条极小或极大的规律，用数学的术语来说，就是相应的泛函的极值点是存在的，这一规律就为用变分法来求解EulerLagrange方程的可行性提供了依据。 2EulerLagrange方程的推导7 设Ω是欧式空间in中的有界开区域，其边界为Ω。我们给定一个光滑函数 L:in×i×Ωn→L 我们把它称为Lagrangian函数。 记L=L(p,z,x)=L(p1,
3、…,pn,z,x1,…,xn) 其中p∈in,z∈i，x∈Ω，这里我们用p代替变量Du(x)的名字，用z代替变量u(x)的名字，同时我们令 DpL=(Lp1,…,Lpn)， DzL=Lz, DxL=(Lx1,…,Lxn) 这样的记法将简化下面的证明。 设能量泛函I[·]具有下面的形式：7 I[w]=∫ΩL(Dw(x),w(x),x)dx(1) 其中光滑函数w:Ω→i满足边界条件w=g,x∈Ω。 现在，如果假设有某个光滑的函数u也满足上述边界条件u=g在Ω上,并且在所有满足边界条件w=g,x∈Ω的
4、函数中，它恰好是能量泛函I[·]的极小值，所以我们断言：如果u是I[·]的极小值，则u一定是某种非线性偏微分方程的解。 下面证明这一言论，首先任意选取光滑函数v∈C∞c(Ω),考虑实值函数 i(t)=I[u+tv]t∈i 由于u是I[·]的极小值，u+tv=u=g在Ω上，所以i(·)在t=0处取得极小。则有 i′(0)=0(2) 下面计算这个导数(也叫一阶变分)，因为 i(t)=∫ΩL(Du+tDv,u+tv,x)dx7 所以有 i′(t)=∫Ωni=1Lpi(Du+tDv,u+tv,x)vxi
5、+Lz(Du+tDv,u+tv,x)vdx 取t=0,则从(2)式我们可以得到 0=i′(0)=∫Ωni=1Lpi(Du,u,x)vxi+Lz(Du,u,x)vdx 最后由于v具有紧支集，由分布积分得 0=∫Ω[-ni=1Lpi(Du,u,x)xi+Lz(Du,u,x)]vdx 上式对任意的函数v都成立，所以我们说u是下列非线性偏微分方程的解： -ni=1(Lpi(Du,u,x))xi+Lz(Du,u,x)=0,x∈Ω(3) 我们可以观察到上式是一个二阶拟线性散度型偏微分方程，我们称其为由(1)
6、式所定义的能量泛函I[·]伴随的的EulerLagrange方程。 3实例7 例1(Dirichlet原理)设 L(p,z,x)=12
7、p
8、2 则有Lpi=pi，(i=1,2,…,n)，Lz=0，所以伴随能量泛函 I[w]=12∫Ω
9、Dw
10、2dx 的EulerLagrange方程为Δu=0,x∈Ω。 例2(一般的Dirichlet原理)设 L(p,z,x)=12ni,j=1aij(x)pipj-zf(x) 收稿日期：20090830通讯作者：吴绪峰 作者简介：夏娜(1976)，现工作
11、单位：武汉科技大学附属医院妇产科。研究方向：妇科疾病。 其中aij=aji(i,j=1,2,…,n),则有7 Lpi=nj=1aij(x)pj,(i=1,2,…,n),Lz=-f(x) 因此伴随能量泛函 I[w]=∫Ω12ni,j=1aijwxiwxj-wfdx 的EulerLagrange方程为散度形式的线性方程-ni,j=1(aijuxj)xi=f,x∈Ω。 例3设有光滑函数f:→，并且定义其原函数为F(z)=〖JF(Z〗z0f(y)dy〖JF)〗.则L(p,z,x)=12
12、p
13、2-F(w)
14、dx,且有Lpi-pi,Lz=-F′(z)=-f(z),所以伴随能量泛函 I[w]=∫Ω12
15、Dw
16、2-F(w)dx 的EulerLagrange方程为非线性的Poisson方程-Δu=f(u),x∈Ω。【参考文献】 1老大中.变分法基础.北京：国防工业出版社,2003. 2沈尧天，严树森.拟线性椭圆型方程的变分方法.7广州：华南理工大学出版社，1
