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1、变分法中的EulerLagrange方程作者:徐清华李文潮吴克坚赵东涛赵清波【摘要】能量泛函伴随的EulerLagrange方程在正则性研究中有很重要的价值,在医学数学模型上有广泛的应用前景。主要探讨由极小化思想推导出的EulerLagrange方程的方法,并给出几个实例以供参考。【关键词】变分法;EulerLagrange方程;能量泛函 1引言 古典的变分理论主要是研究泛函的极值和极值点,在19世纪之前,求极值点的问题总是被转化为求解相应的EulerLagrange方程,对于很多问题,特别是高维问题
2、,求解EulerLagrange方程并不是一件很容易的工作。另一方面,从经典力学等问题的研究中,人们往往可以得出下面的结论:自然界的众多效应遵从一条极小或极大的规律,用数学的术语来说,就是相应的泛函的极值点是存在的,这一规律就为用变分法来求解EulerLagrange方程的可行性提供了依据。 2EulerLagrange方程的推导7 设Ω是欧式空间in中的有界开区域,其边界为Ω。我们给定一个光滑函数 L:in×i×Ωn→L 我们把它称为Lagrangian函数。 记L=L(p,z,x)=L(p1,
3、…,pn,z,x1,…,xn) 其中p∈in,z∈i,x∈Ω,这里我们用p代替变量Du(x)的名字,用z代替变量u(x)的名字,同时我们令 DpL=(Lp1,…,Lpn), DzL=Lz, DxL=(Lx1,…,Lxn) 这样的记法将简化下面的证明。 设能量泛函I[·]具有下面的形式:7 I[w]=∫ΩL(Dw(x),w(x),x)dx(1) 其中光滑函数w:Ω→i满足边界条件w=g,x∈Ω。 现在,如果假设有某个光滑的函数u也满足上述边界条件u=g在Ω上,并且在所有满足边界条件w=g,x∈Ω的
4、函数中,它恰好是能量泛函I[·]的极小值,所以我们断言:如果u是I[·]的极小值,则u一定是某种非线性偏微分方程的解。 下面证明这一言论,首先任意选取光滑函数v∈C∞c(Ω),考虑实值函数 i(t)=I[u+tv]t∈i 由于u是I[·]的极小值,u+tv=u=g在Ω上,所以i(·)在t=0处取得极小。则有 i′(0)=0(2) 下面计算这个导数(也叫一阶变分),因为 i(t)=∫ΩL(Du+tDv,u+tv,x)dx7 所以有 i′(t)=∫Ωni=1Lpi(Du+tDv,u+tv,x)vxi
5、+Lz(Du+tDv,u+tv,x)vdx 取t=0,则从(2)式我们可以得到 0=i′(0)=∫Ωni=1Lpi(Du,u,x)vxi+Lz(Du,u,x)vdx 最后由于v具有紧支集,由分布积分得 0=∫Ω[-ni=1Lpi(Du,u,x)xi+Lz(Du,u,x)]vdx 上式对任意的函数v都成立,所以我们说u是下列非线性偏微分方程的解: -ni=1(Lpi(Du,u,x))xi+Lz(Du,u,x)=0,x∈Ω(3) 我们可以观察到上式是一个二阶拟线性散度型偏微分方程,我们称其为由(1)
6、式所定义的能量泛函I[·]伴随的的EulerLagrange方程。 3实例7 例1(Dirichlet原理)设 L(p,z,x)=12
7、p
8、2 则有Lpi=pi,(i=1,2,…,n),Lz=0,所以伴随能量泛函 I[w]=12∫Ω
9、Dw
10、2dx 的EulerLagrange方程为Δu=0,x∈Ω。 例2(一般的Dirichlet原理)设 L(p,z,x)=12ni,j=1aij(x)pipj-zf(x) 收稿日期:20090830通讯作者:吴绪峰 作者简介:夏娜(1976),现工作
11、单位:武汉科技大学附属医院妇产科。研究方向:妇科疾病。 其中aij=aji(i,j=1,2,…,n),则有7 Lpi=nj=1aij(x)pj,(i=1,2,…,n),Lz=-f(x) 因此伴随能量泛函 I[w]=∫Ω12ni,j=1aijwxiwxj-wfdx 的EulerLagrange方程为散度形式的线性方程-ni,j=1(aijuxj)xi=f,x∈Ω。 例3设有光滑函数f:→,并且定义其原函数为F(z)=〖JF(Z〗z0f(y)dy〖JF)〗.则L(p,z,x)=12
12、p
13、2-F(w)
14、dx,且有Lpi-pi,Lz=-F′(z)=-f(z),所以伴随能量泛函 I[w]=∫Ω12
15、Dw
16、2-F(w)dx 的EulerLagrange方程为非线性的Poisson方程-Δu=f(u),x∈Ω。【参考文献】 1老大中.变分法基础.北京:国防工业出版社,2003. 2沈尧天,严树森.拟线性椭圆型方程的变分方法.7广州:华南理工大学出版社,1