利用拼图验证勾股定理

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1、利用拼图验证勾股定理朱洁25级4班陈毅中学议一议1.观察勾股定理c=a+b中的c、a和b,你想到了什么?答:斜边是直角直角三角形aac2.做四个全等的直角三角形,你能拼出与有关的图形吗?能利用拼出的图形验证勾股定理吗?4s直角三角形=s大正方形即a+a+a+a=c故a+a=caaaaaaaacccc2.将上图中的四个等腰直角三角形沿斜边c向外翻转得到图2,由于面积不变,故仍可直接得出:a+a=c;通过面积关系可以得到:s大正方形=s小正方形+4s直角三角形即(a+a)=c+4×a4a=c+2a2a=c图2a+a=c3.用四

2、个全等的非等腰直角三角形拼成如图所示的图形,利用面积关系可得到:aaaabbbbccccs大正方形=s小正方形+4s直角三角形即(a+b)=c+4×aba+2ab+b=c+2ab图3故a+b=ccabs小正方形+4s直角三角形=s大正方形即(b-a)+4×ab=cb-2ab+a+2ab=c故a+b=c做一做1.动手做一副五巧板(如图所示),利用它来验证勾股定理。12345abc2.用两副五巧板,将其中的一副拼成一个以c为边长的正方形;将另一副拼成两个边长分别为a、b的正方形。你拼出来了吗?你能验证勾股定理了吗?112233

3、4455大正方形c:由s1、s2、s3、s4、s5组成;小正方形a:由s1、s3组成;小正方形b:由s2、s4、s5组成;a+b=c图63.用上面的两副五巧板,还可以拼出如下所示的图形:122334455大正方形c:由s1、s2、s3、s4、s5组成:小正方形b:由s2、s4、s5组成;a+b=c4.用上面的五巧板,还可以拼出“青朱出入图”。刘徽在他的《九章算术》中青方朱出朱方青入青出青出青入abcABC给出了注解,大意是:三角形ABC为直角三角形,以勾为边的正方形为朱方,以股为边的正方形为青方;以盈补虚,将朱、青二方并成

4、弦方,依面积关系有a+b=c,由于朱方、青方各有一部分在弦方内,那一部分就不动了。不用去标注任何文字,只要相应的涂上朱、青两种颜色,也能把蕴含于勾股定理中的数学定理,清晰的展示在世人面前。想一想意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理也曾进行了研究,他验证勾股定理的方法可以从下面的实验中得到体现:1、在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形,并连结BC、EF,如图9所示;ⅡⅠABCDEFOCABEFb图9图10图112.沿ABCDEFA剪下,得到两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ如图10所示;3.将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼

5、成如图11所示的图形;4.比较图9、图11中两个多边形ABCDEF和ABCDEF的面积,你能验证勾股定理吗?利用面积关系可得到:sABCDEF=sABCDEF即a+2×ab+b=c+2×aba+ab+b=c+ab故a+b=c习题如图12:∵s梯形ABCD=(a+b)=(a+2ab+b)又∵s梯形ABCD=s△ABE+s△AED+s△CDEaabbccABCDE=ab+c+ab=(c+2ab)∴a+2ab+b=c+2ab图12a+b=c勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,即直角三角形两直角边的平方和等于斜

6、边的平方。逆定理:在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1),求证:∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n>1),都可构成一组勾股数,三边分别是:2n、n2-1、n2+1。收获:自己在这次学习勾股定理中,通过自己动手,拼剪,验证勾股问题学会明白很多问题,工程技术人员用的比较多,比如农村房屋的屋顶构造,就可以用勾股定理来计算,设计工程图纸也要用到勾股定理,在求与圆、三角形有关的数据时,多数可以用勾股定理物理上也有广泛应用,例如求几个力,或者物体的合速度,运动方向……古代

7、也是大多应用于工程,例如修建房屋、修井、造车等等……家装时,工人为了判断一个墙角是否标准直角.可以分别在墙角向两个墙面量出30cm,40cm并标记在一个点,然后量这两点间距离是否是50cm.如果超出一定误差,则说明墙角不是直角.比如A点有一高杆在其附近B点要把从杆顶引下来的绳固定在此点。就可以算出绳子的长度要求了在做木工活时,要是有大块的板材要定直角,就用勾股定理。角尺太小,在大板上画的直角误差大。在做焊工活时,做大的框架,有一定要直角的也是用勾股定理。比如说我要一个直角,就取一个直角边3米,一个直角边4米,让斜边有5米,

8、那这个角就是直角了。比如已知两个螺丝之间的位置,我们便可以用勾股定理求出两个螺丝之间的距离。

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