估计大学城占地面积模型

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1、估计大学城占地面积模型杨君（220500232）骆培焕（220500221）裴志碧（220500223）摘要：本模型通过汽车的速度与行驶方向求解汽车所围图形的面积。我们通过建立X、Y坐标轴的建立，绘出汽车的行驶路线。通过对已知数据的拟合，推导出汽车所在位置(x,y)和时间t的关系，并将已知数据拟合成速率v与时间t，以及方向角与时间t的函数关系。从而求解汽车的行驶路程，同时用函数积分求解面积。关键词：最小二乘法数据拟合曲线积分一、问题重述领导视察大学城，坐车从大学城边界上某处出发，沿边界行驶了15分钟45秒，然后作90º左拐弯沿直线边界直奔起点。下表给出了

2、汽车在前15分钟45秒行驶过程中每隔2分钟左右的记录数据。 时间(分)02.04.06.08.010.012.014.015.75速率（公里/分）00.670.850.971.071.151.221.291.34方向角(度)091144189229266300333360请你根据提供的数据，(1)估计汽车绕大学城行驶的总的路程；(2)估计大学城的占地面积；(3)确定该汽车的行驶路线的函数表达式。二、问题分析：对于求解此问题，题目中给出了汽车绕大学城外围行驶时特定时间的速度与角度值。我们通过建立模型，在x，y坐标系中用matlab绘制出汽车行驶路线图：-9

3、-进而由速度v、方向角这两者与时间t的关系求模型的解。三、模型假设　对于题目中的数据量，我们假设速度v、方向角这两者与时间t之间存在某种线性或非线性关系。通过数据拟合求解速度v和时间t、方向角与t的函数关系。最终由它们的关系求出汽车的运动曲线。四、符号说明汽车的行驶速率汽车行驶方向与x轴正方向的夹角（单位为角度）A转换为弧度单位的值汽车行驶过程中的坐标，x为横坐标，y为纵坐标汽车行驶的路程大学城的面积汽车行驶路线某时刻的极半径（如下图所示）五、模型的建立与求解由题目中的数据：时间0.02.04.06.08.010.012.014.015.75速率00.6

4、70.850.971.071.151.221.291.34方向角091144189229166300333360-9-（1）速率与时间观察速度时间散点图，可以得出曲线与曲线十分相识假设，令，时间t0246810121415.75速率v00.670.850.971.071.151.221.291.3401.25991.58741.81712.00002.15442.28942.41012.5066则有,用最小二乘法：用matlab，解得，由于偏小，对计算结果影响不大，为了后面计算方便，取＝0。得①（2）方向角和时间-9-由于角度的数值太大，就把角度转换成弧

5、度(=A/180*)09114418922926630033336001.588252.5132741233.2986723.9968044.6425765.2359885.8119466.283185对时间t和弧度之间的关系进行分析：时间t0246810121415.75弧度01.588252.5132741233.2986723.9968044.6425765.2359885.8119466.28318502.5225376.31654681710.8812415.9744421.5535127.4155733.7787239.47842-9-通过对

6、上面两幅图像的分析，得出两曲线大致对称，故假设将已知数据代入计算得②通过求得的v(t)和(t)函数，我们得到以下数据的求解：-9-③路程④④式中表示汽车最后左拐90度后回到起点所走的路程令＝15.75，解得⑤最后得到汽车行驶的总路程为⑥⑦-9-带入数据解得模型总结：汽车行驶路线的函数表达式：汽车行驶总路程大学城的占地面积六、误差分析：本模型中误差主要来自：1）建模误差本模型主要是靠数据拟合建立起模型的，存在一定的误差。-9-从上图可以看出所给的数据点大致分布在曲线的两侧，曲线拟合的很好，误差相对较小，属于允许的误差范围内。根据实际情况分析，可知公式①的推

7、倒带有一定的误差，舍弃b值取0，其依据是b值很小，对计算结果影响不大，但误差会带入到后面路程和面积的推倒、-9-计算过程中。1）计算机截断误差计算机在进行求解时字长有限，有一部分数值会被舍弃，但对本模型基本可以忽略。2）编程求解积分问题也会有误差，程序中的积分精度为0.0001（程序见附录）。七、模型评价及应用实际情况中考虑的因素会相当多，根据不同的数据记录，需要重新进行数据拟合，得出不同的函数模型，但方法是相似的。用此模型可以求解一些不易直接测量的土地面积。八、参考文献：【1】实用数值计算方法，高等教育出版社，2001【2】《最小二乘法的基本原理和多项

8、式拟合》（http://www.tyut.edu.cn/kecheng/jisf