方程模型的区间估计

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1、§2.5多元线性回归模型的区间估计IntervalEstimationofMultipleLinearRegressionModel多元线性回归模型的置信区间问题,包括参数的置信区间和被解释变量预测期实际值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计，就是用一个取值区间来表达对总体参数的估计。该数值区间称为总体参数的置信区间（confidenceinterval）。该数值区间将总体参数包含在内的概率称为置信水平（confidencecoefficient）。一、参数的区间估计线性回归模型的参数估计量是随机变量(N(?,?))，利用一次

2、抽样的样本观测值，估计得到的只是参数的一个点估计值。如果用参数的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？1、问题的提出为回答上面的问题，这就要构造一个以参数的点估计值为中心的区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。abbb-=+<<-1)ˆˆ(aaPjjj参数的区间估计的目的就是要求出与a相对应的a。如何理解区间估计：（1）一般意义。这种区间是一个随机区间，而真值β为一非随机数（固定的常数），从长期看，平均地说，在重复抽样过程中，这些区间将有（1-α）%次包含着真值。（2）具体而言，一

3、旦给定样本，那么这个区间就不在是随机的了，而是一个确定的区间。因此，此区间包含真值的概率不是1就是0。（3）进行估计值的区间估计，实质上就是如何确定a。根据数理统计的知识，要完成a的确定，必须要知道估计式（量）的抽样分布。2、参数的区间估计在实际应用中，我们当然希望置信水平越高越好，置信区间越小越好。问题那么，在保持置信水平不变的情况下，怎样才能缩小置信区间？但是，置信水平与置信区间是矛盾的。置信水平越高，在其它情况不变时，临界值2at越大，置信区间越大。如果要求缩小置信区间，在其它情况不变时，就必须降低对置信水平的要求。3、如何缩小参数的置信区间①增大

4、样本容量n。在同样的置信水平下，n越大，从t分布表中查得自由度为（n-k-1）的临界值2at越小；同时，增大样本容量，在一般情况下可使1)ˆ(--¢=kncSejjjeeb减小，因为式中分母的增大是肯定的，分子并不一定增大。②更主要的是提高模型的拟合优度。因为模型的拟合优度越高，残差平方和ee¢越小。设想一种极端情况，如果模型完全拟合样本观测值，残差平方和为0，则置信区间也为0。③提高样本观测值的分散度。在一般情况下，样本观测值越分散，cjj越小。二、预测期实际值的区间估计1、问题的提出计量经济学模型的一个重要应用是经济预测。对于模型$YX=$B如果给定

5、样本以外的解释变量的观测值),,,,1(02010kXXXL=0X，可以得到被解释变量的预测值=Bˆˆ00XY于是，又是一个区间估计问题。但是，严格地说，我们得到的仅仅是预测期实际值的一个点估计值,而不是对应于X0的真实的Y0。原因在于两方面：一是模型中的参数估计量是不确定的，随样本的不同而不同；二是随机项的影响。这样，预测期的实际值仅以某一个置信水平处于以该估计值为中心的一个区间中。2、预测期实际值的置信区间的推导如果已知被解释变量的预测期实际值Y0，那么预测误差为：容易证明：所以取e0的方差的估计量为构造统计量～这就是说，当给定解释变量值X0后，该区

6、间将以（1-）的置信水平包含被解释变量Y0。于是，预测误差e0的标准差为利用该统计量，在给定)1(a-的置信水平下可以得到0Y的置信区间注意通常情况下，预测误差e0的标准差也记作于是，在给定)1(a-的置信水平下，0Y的置信区间也可以表示成010ˆ)(1ˆ00XXXX¢¢+=--msYYSE对于一元线性回归预测，有对于二元线性回归预测，有对于一元线性回归预测，有对于二元线性回归预测，有3、一点启示计量经济学模型用于预测时，必须严格科学地描述预测结果。如果要求给出一个“准确”的预测值，那么真实值与该预测值相同的概率为0。如果要求以100%的概率给出区间，

7、那么该区间是∞。模型研制者的任务是尽可能地缩小置信区间。4、如何缩小Y0或E（Y0）的置信区间①增大样本容量n。在同样的置信水平下，n越大，从t分布表中查得自由度为)1(--kn的临界值2at越小；同时，增大样本容量，在一般情况下可使1ˆ--¢=kneems减小，因为式中分母的增大是肯定的，分子并不一定增大。②更主要的是提高模型的拟合优度。因为模型的拟合优度越高，残差平方和ee¢越小。设想一种极端情况，如果模型完全拟合样本观测值，残差平方和为0，则置信区间也为0。③提高样本观测值的分散度。在一般情况下，样本观测值越分散，作为()¢-XX1的分母的XX¢的

8、值越大，致使置信区间缩小。三、多元线性回归分析计算步骤及主要公式1、由样本观测值