ARCH和GARCH模型估计

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时间:2019-05-09

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1、第五讲条件异方差模型EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因:首先,我们可能要分析持有某项资产的风险;其次,预测置信区间可能是时变性的,所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间;第三,如果误差的异方差是能适当控制的,我们就能得到更有效的估计。内容概况一ARCH模型及扩展二 在EViews中估计ARCH模型三 估计结果与检验一自回归条件异方差模型自回归条件异方差(Autoreg

2、ressiveConditionalHeteroscedasticityModel,ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle,R.)提出,并由博勒斯莱文(Bollerslev,T.,1986)发展成为GARCH(GeneralizedARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。按照通常的想法,自相关的问题是时间序列数据所特有,而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中,会不会出现异方差呢?会是怎样出现

3、的?恩格尔和克拉格(Kraft,D.,1983)在分析宏观数据时,发现这样一些现象:时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时,大的及小的预测误差会大量出现,表明存在一种异方差,其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者,曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小,而在某一时期里则相对地大,然后,在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动

4、、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。为了刻画这种相关性,恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻t的ut的方差(=t2)依赖于时刻(t1)的残差平方的大小,即依赖于ut2-1。(一)ARCH模型为了说得更具体,让我们回到k-变量回归模型:(5.1.1)并假设在时刻(t1)所有信息已知的条件下,扰动项ut的分布是:~(5.1.2)也就是,ut遵循以0为均值,(0+1u2t-1)为方差的正态分布。由于(5.1.2)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项,我们

5、称它为ARCH(1)过程:然而,容易加以推广。例如,一个ARCH(p)过程可以写为:(5.1.3)如果扰动项方差中没有自相关,就会有H0:这时从而得到误差方差的同方差性情形。恩格尔曾表明,容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设:(5.1.4)其中,ût表示从原始回归模型(5.1.1)估计得到的OLS残差。(二)GARCH(1,1)模型我们常常有理由认为ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量(特别是在金融领域,采用日数据或周数据的应用更是如此)。这里的问题在于,我们必须估计很多参数,而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方

6、程(5.1.3)不过是t2的分布滞后模型,我们就能够用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值,这就是广义自回归条件异方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheterosce-dasticitymodel,简记为GARCH模型)。在GARCH模型中,要考虑两个不同的设定:一个是条件均值,另一个是条件方差。在标准化的GARCH(1,1)模型中:(5.1.5)(5.1.6)其中:xt是1×(k+1)维外生变量向量,是(k+1)×1维系数向量。(5.1.5)中给出的均值方程是一

7、个带有误差项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差,所以它被称作条件方差。(5.1.6)中给出的条件方差方程是下面三项的函数:1.常数项(均值):2.用均值方程(5.1.5)的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息:ut2-1(ARCH项)。3.上一期的预测方差:t2-1(GARCH项)。GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项(括号中的第一项)和阶数为1的ARCH项(括号中的第二项)。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例,即在条件方差方程中不存在滞后预测

8、方差t2的说明。在EViews中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下,通过极大似然函数方法估计的。例如,对于GARCH(1,1),t时期的对数似然函数为:(5.1.7)其中(5.1.8)这个说明通常可以在金融领域得到解释,因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均(常数),上

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