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1、ARCH模型和GARCH模型79RobertF.EngleCliveW.J.Granger本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。引子---问题的提出79以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，yt=yt-1+εt其中εt为白噪声过程，1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1和图2。79图1日元兑
2、美元汇率序列JPY(1995-2000)图2日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)79图3收益绝对值序列(1995-2000)图4D(JPY)的平方(1995-2000)79这种序列的特征是（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域
3、的概率比正态分布小。图5给出高峰厚尾分布示意图。79正态分布曲线高峰厚尾分布曲线图5高峰厚尾分布特征示意图79显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通过预测yt或ut的变化量评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测yt的置信区间，它是随时间变化的；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。79§1、ARCH模型1、条件方差多元线性回归模型：条件方
4、差或者波动率（Conditionvariance，volatility）定义为其中是信息集。792、ARCH模型的定义Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticity，自回归条件异方差）。ARCH(q)模型：（1）的无条件方差是常数，但是其条件分布为（2）79其中是信息集。方程（1）是均值方程（meanequation）ü：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（2）是条件方差方程（conditionalvarianceequation），
5、由二项组成ü常数üARCH项：滞后的残差平方79由于εt2的非负性，对ai应有如下约束，ω>0,ai³0,i=1,2,…q当全部ai=0,i=1,2,…,q时，条件方差st2=ω。因为方差是非负的，所以要求ω>0。793、ARCH模型的平稳性条件为保证st2是一个平稳过程，(2)式的特征方程1-a1L-a2L2-…-aqLq=0的根都应在单位圆之外。对ai,i=1,2,…,q的另一个约束是0£a1+a2+…+aq<179对(2)式求期望，st2=ω+a1E(εt-12)+a2E(εt-22)+…+aqE(εt-q2)=ω+a
6、1st-12+a2st-22+…+aqst-q2当T®¥时，s2=ω+a1s2+a2s2+…+aqs2则无条件方差79可见若保证st2是一个平稳过程，应该有约束0£(a1+a2+…+aq)<1。因为Var(yt)=Var(εt)=st2，所以上式可以用来预测yt的方差。综上所述，ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有1)1-a1L-a2L2-…-aqLq=0的根都应在单位圆之外。2)0£a1+a2+…+aq<1为使模型能够成立还需要满足ω>0,ai³0,i=1,2,…q79例1ARCH(1)模型中参数的含义：当时，当时，退化
7、为传统情形，794、ARCH效应检验ARCHLMTest：拉格朗日乘数检验建立辅助回归方程此处是回归残差。原假设：H0：序列不存在ARCH效应即H0：79可以证明：若H0为真，则此处，m为辅助回归方程的样本个数。R2为辅助回归方程的确定系数。Eviews操作：①先实施多元线性回归②view/residual/Tests/ARCHLMTest79§2、ARCH模型的实证分析从收盘价，得到收益率数据序列。seriesr=log(p)-log(p(-1))点击序列p，然后view/linegraph7979791、检验是否有ARC
8、H现象。首先回归。取2000到2254的样本。输入lsrc，得到79DependentVariable:RMethod:LeastSquares79Date:10/21/04Time:21:26Sample:20002254Includedobservations:255VariableC
