ARCH模型和GARCH模型及其matlab实现

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1、第9章、ARCH模型和GARCH模型*****重要阅读材料：Engle,Robert,2004,riskandvolatility:econometricmodelsandfinancialpractice,AER,94(3):405-420.研究内容：研究随时间而变化的风险。（回忆：Markowitz均值－方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险）本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。波动率的聚类性（volatilityclustering）：一段时间内，随机扰动项的波动的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小

2、。如图，0.80.60.40.20.0-0.2500100015002000R§1、ARCH模型1、条件方差多元线性回归模型：yXttt条件方差或者波动率（Conditionvariance，volatility）定义为2var()var(

3、)tt11ttt其中是信息集。t12、ARCH模型的定义Engle（1982）提出ARCH模型（autoregressiveconditionalheteroskedasticity，自回归条件异方差）。ARCH(q)模型：yx（1）ttt的无条件方差是常数，但是其条件分布为t2

4、~N(0,)tt

5、1t222（2）t11tqtq其中是信息集。t1方程（1）是均值方程（meanequation）2：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差t方程（2）是条件方差方程（conditionalvarianceequation），由二项组成常数2ARCH项：滞后的残差平方ti习题：方程（2）给出了的条件方差，请计算的无条件方差。tt引理（方差分解公式）：【不作要求】Var(X)=Var[E(X

6、Y)]+E[Var(X

7、Y)]证明：（1）条件方差定义为2Var(X

8、Y)=E{[X-E(X

9、Y)]

10、Y}（2）注意，条件方差Var(X

11、

12、Y)是随机变量Y的函数。展开，得到22Var(X

13、Y)=E(X

14、Y)－[E(X

15、Y)]因此，22E[Var(X

16、Y)]=E{E(X

17、Y)－[E(X

18、Y)]}22=E{E(X

19、Y)}－E{[E(X

20、Y)]}22=E(X)－E{[E(X

21、Y)]}22（3）使用如下公式Var[g(Y)]=E{[g(Y)]}-{E[g(Y)]}，定义g(Y)=E(X

22、Y)并代入以上等式，得到22Var[E(X

23、Y)]=E{[E(X

24、Y)]}-{E[E(X

25、Y)]}22=E{[E(X

26、Y)]}-{E(X)}（3）因此，合并，得到E[Var(X

27、Y)]+Var[E(X

28、Y)]2222=E(X)－E{[E(

29、X

30、Y)]}+E{[E(X

31、Y)]}-{E(X)}22=E(X)-{E(X)}=Var(X)证明结束。习题的证明：利用方差分解公式：Var(X)=VarY[E(X

32、Y)]+EY[Var(X

33、Y)]22由于

34、N(0,)，所以条件均值为0，条件方差为。那么，tt1tt2var()tt1t2var()?EE[var()]tt1tt22E()11tqtq22EE11tqtqvar()var()11tqtqvar()var()1tqt推出var()，说明~

35、N(0,)tt11...1q1q3、ARCH模型的平稳性条件在ARCH(1)模型中，观察参数的含义：当1时，var()t当0时，退化为传统情形，N(0,)tARCH模型的平稳性条件：1（这样才得到有限的方差）i4、ARCH效应检验ARCHLMTest：拉格朗日乘数检验222针对ARCH模型，建立辅助回归方程t11tqtq222eeevt01t1qtqt此处e是辅助回归方程的回归残差。原假设：H0：序列不存在ARCH效应即H0：012q可以证明：若H0为真，则22LM

36、mR()q2此处，m为辅助回归方程的样本个数。R为辅助回归方程的确定系数。当然，还可以直接使用方差整体显著性检验（F检验：H0：除常数项外所有系数都是0）。Eviews操作：①先实施多元线性回归②view/residual/Tests/ARCHLMTest下面依据实例来学习ARCH模型。§2、GARCH模型的实证分析从收盘价，得到收益率数据序列。seriesr=log(p)-log(p(-1))点击序列p，然后view/linegraph200015001000500050010001