解无理方程（组）的若干方法

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1、解无理方程（组）的若干方法乏锰锛礅第7卷第2期Vo1.7N0.2川东学刊(自然科学版)EastSicbuanJournal(NaturalScienceEdition)1997年4月Apt.199771/7解无理方程(组)的若干方法●胡道煊{=)/.3无理方程(组)是中学数学教学的一十重要内容.求其解谭本中介绍了常规方法两种,一是通过两边乘方(或乘以有理化因式)若干趺.使原无理方程变形为有理主程而解I二是通过换元.使其变成简单型的无理方解而解.由于无理方程自身的特征性和与其它知识的连贯性及综合性,所以其结构复杂,种类繁多,周而求解具有一定的难度I.叉由于在教材及其它文献中一在各种层次的

2、数学考试及目内外数学竞赛中都不同程度地嗳纳了这些内容-因而根有必要对它的解法进行全面深入细致地探兜,归纳,总结,以便固题而异采用不同的技巧方法,使其化繁为筒.化难为易.从而予以筒捷求解.鉴于此,笔者将无理方程(组)的解法大概归成=十三种类型.敬献给读者,供参考.一,换元法例1~/j+',+2/j而+2x一35;o解?/.一≥.且(/):+()e=+..

3、原方程可变形为,(/了+',了):+(+;—干)一420.设=+,/T+7,则原方程可化为z+y一42=o=6或=一7(舍击).^/+=6~144x=841=>x=841/144.(注.验根略击.下同.)二,参数法例2s一+z一/

4、.一1—2昌0(1979年全国中学生数学竞赛题)解设口=~,5一1,Ⅲ!『原方程变形为一朋+一1=0-解得=1.如=一1,进而解得鲁士~,10/5.(评注象这类无理方程.适当地引入参变量后.不但不能}肖元一反而增元.也能使方程巧解.)It+y,=39一zy.{+2=52一?/;+z/=78一一.孵令4=.6=皇/则原方程组变形为rdc+曲一39一+=52一L+k=78一三,利用非负数性质法例4在实数范围内解方程115~/+~/+=一2=h+Y+=)/2(1979年罗马尼亚数学决赛题)解原方程变形为(v,一1)z+(—1):+(=_i—1):岩幛~/j一1=0.一1=0./=—1=0,解

5、得一1,=2,=一3.侧5+Igx+~,+Igx一11—11.解原方程变形为+g一'11+;i10.显然,属^+~/i=0型.由于~/≥幛≥Oi所以^-0.故只需解方程+Igx一11=0.解得110.四,利用分子有理化倒6丽+面=解把原方程左边分子有理化后可得~/一v,丙==2,把此方程与原方程联立荐2v,i面:+2一:2.五,分母有理化法铘7五±三——~'-~"1--—Jx+l…=一(_=+)解把原方程有理化分母后整理得±=嚣三二￡=l+/二一一/i_+/二+/j_=?一l2～/=二-i=—1)=1六,利用比的性质求解l,利甩分比定理侧8解6/+26/一由分比定理原方程变形为242a

6、2,利甩等比定理"≠0.6≠O)~/j+矗一-6~/j一日辛=lI倒9在实数集内.方程组,,———-------------—一l+y+==~,+y+z+1+5/2=y/3=z/4的解是——.(1986年重庚.缗云杯初中数学竞赛题)-解由第一十方程得++z=3(舍击负根).即+y+z=8.由第二十方程殛等比定理荐上,2—8/9.,3=8/9,z/4—8/9.解得=1s/s?曼s/3?==ssls.3.利甩合分比定理?倒l0巫±j:亟±三三=_=一『二=_=一_=解从原方程知/;==0成立.所以可得一2.由合分比定理并整理后得:{至=/=/五=上=3.故=2,:=3.',一2一2116评

7、注;此题若先直接由台分比定理就只鸵求出=3这个根,丽橱掉了=2这个根.其理由是用台分比定理把原方程变为上面简式时,把的取值范围缩小了.因而,在利用合分比定理时.要谨防蒲棍.七,利用韦达定理倒11~/:=+==一':(韧中代数第三册P135第9题(2))解设扰=,=j=,则扰+4—.--—b.:+=口一6.^m=[(m+):一(:+)]/2=[0—6)一(4一h)]/2=0.设,n是方程^:一_二-=0的根,解得^.=0,一v,:.当=0时.=一(净z=a.当=~,时,==~,辛=6.故.=.,屯6.倒+专25解原方程两边平方后.经整理得志一25-则以,志为根的一元=次方程为l2.一3雅

8、+25=..解之井代人./『=,得=5/3m=s/4.八,共轭因式法口V18/i一/j=/一/.解做辅助方程(恒等式)(7x一4)一(7x一5)=(4x一1)一(4x一2).把此式与原方程相除,得=+/==/五_=+v,石_=.此式与原方程联立后得/=兰/-二都=例14C—az~-4—z+a4+===9解由原方程得/=_而一/二_五=5,把此方程与原方程联立而得/蟊=_=7√五==—穹2,分别解之后而得.=3,:竺一5,3.九,消去法『=4例1