1古典概率典型题解

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1、概率论与数理统计典型题解第一章随机事件与概率典型题解1．个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率．解令{甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有这个位置，由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么发生当且仅当乙坐2号或号位置，从而2．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷次，乙掷次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率．解令{甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}，{甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，由硬币的均匀性知，，容易看出，，由此可知．3．某班有个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，跳了10分钟后把绳子放在一堆

2、，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率．解令{第个学生拿到自己原先使用的绳子}（），{至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}，则．4．若事件与互不相容，且，证明：．证明由于与互不相容，则，而，故．5．一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为，若第一次及格则第二次及格的概率也为；若第一次不及格则第二次及格的概率为．（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率．解令{该学生第次考试及格}（），{该学生取得该资格}，则

3、（1）．（2）．6．设口袋里装有个黑球，个红球，任意取出一个，然后放回并放入个与取出的颜色相同的球，再从袋里取出一球，问：（1）最初取出的球是黑球，第二次取出的也是黑球的概率；（2）如将上述手续进行次，用归纳法证明任何一次取得黑球的概率都是，任何一次取得红球的概率都是．解令{第次取出的球是黑球}（），则（1）；（2），假设，则，，所以，于是（），（）．7．利用概率论的思想证明恒等式（其中，且均为正整数）．证明设一口袋中共有只球，其中有红球，不放回地从袋中一次取一只球，令{第次取出的球是红球}（），则，所以，即．8．学生在做一道有4个选项的单项选择题时

4、，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测，现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率：（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是；（2）学生知道正确答案的概率是．解　令{学生知道正确答案}，{学生题目答对}，则（1）；（2）．9．甲、乙比赛射击，每进行一次，胜者得一分，在一次射击中，甲胜的概率为，乙胜的概率为．设，且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就停止，多得2分者胜．分别求甲、乙获胜的概率．解　令{甲恰好在第局比赛后获胜}，{乙恰好在第局比赛后获胜}（），{甲获胜}，{乙获胜}．则发生当且仅当第局可胜可负，第局的胜负情

5、形恰好分别与第局的胜负情形相反，而第局连胜．因此，所以，同理．10．在四次独立试验中事件至少出现一次的概率为0.59，试问一次试验中出现的概率是多少？解　令｛第次试验中发生｝（），，则，解之得．11．设相互独立，．证明相互独立的充要条件是．证明必要性．设相互独立，则，即，而，所以．充分性．设，则两两独立，且，于是相互独立．12．设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为，击伤的概率为，击不中的概率为．并设击伤两次也会导致潜水艇下沉．求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率．解　令｛第枚炸弹击沉潜水艇｝，｛第枚炸弹击伤潜水艇｝，｛第枚炸弹击不中潜水艇｝，（），｛潜

6、水艇被击沉｝，则，于是，所以．13．设，试证与独立．证明因为，所以，即，于是，因此，从而与独立．14．已知某商场一天内来个顾客的概率为，其中．又设每个到达商场的顾客购买商品是独立的，其概率为．试求这个商场一天内有个顾客购买商品的概率．解　令｛一天内有个顾客到达这个商场｝，｛这个商场一天内有个顾客购买商品｝，则．15．甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为．问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立．解采用三局二胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲

7、最终获胜的概率为．采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛3局（可能赛3局，也可能赛4局或5局），且最后一局必需是甲胜，而前面甲需胜二局．例如，共赛4局，则甲的胜局情况是：“甲乙甲甲”，“乙甲甲甲”，“甲甲乙甲”，且这三种结局互不相容．由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为，而．当时；当时．故当时，对甲来说采用五局三胜制为有利．当时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是50%．