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时间:2018-07-30
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1、概率论与数理统计典型题解第一章随机事件与概率典型题解1.个人随机地围一圆桌而坐,求甲、乙两人相邻而坐的概率.解令{甲、乙两人相邻而坐},设想圆桌周围有这个位置,由于该问题属于圆排列问题,所以不妨认为甲坐1号位置,那么发生当且仅当乙坐2号或号位置,从而2.甲、乙两人掷均匀硬币,其中甲掷次,乙掷次,求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率.解令{甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数},{甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数},由硬币的均匀性知,,容易看出,,由此可知.3.某班有个学生,上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习,跳了10分钟后把绳子放在一堆
2、,进行别的练习,后来每人又随机拿了一根绳子进行练习,问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率.解令{第个学生拿到自己原先使用的绳子}(),{至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子},则.4.若事件与互不相容,且,证明:.证明由于与互不相容,则,而,故.5.一学生接连参加同一课程的两次考试,第一次及格的概率为,若第一次及格则第二次及格的概率也为;若第一次不及格则第二次及格的概率为.(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率.(2)若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率.解令{该学生第次考试及格}(),{该学生取得该资格},则
3、(1).(2).6.设口袋里装有个黑球,个红球,任意取出一个,然后放回并放入个与取出的颜色相同的球,再从袋里取出一球,问:(1)最初取出的球是黑球,第二次取出的也是黑球的概率;(2)如将上述手续进行次,用归纳法证明任何一次取得黑球的概率都是,任何一次取得红球的概率都是.解令{第次取出的球是黑球}(),则(1);(2),假设,则,,所以,于是(),().7.利用概率论的思想证明恒等式(其中,且均为正整数).证明设一口袋中共有只球,其中有红球,不放回地从袋中一次取一只球,令{第次取出的球是红球}(),则,所以,即.8.学生在做一道有4个选项的单项选择题时
4、,如果他不知道问题的正确答案时,就作随机猜测,现从卷面上看题是答对了,试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率:(1)学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是;(2)学生知道正确答案的概率是.解 令{学生知道正确答案},{学生题目答对},则(1);(2).9.甲、乙比赛射击,每进行一次,胜者得一分,在一次射击中,甲胜的概率为,乙胜的概率为.设,且独立地进行比赛到有一人超过对方2分就停止,多得2分者胜.分别求甲、乙获胜的概率.解 令{甲恰好在第局比赛后获胜},{乙恰好在第局比赛后获胜}(),{甲获胜},{乙获胜}.则发生当且仅当第局可胜可负,第局的胜负情
5、形恰好分别与第局的胜负情形相反,而第局连胜.因此,所以,同理.10.在四次独立试验中事件至少出现一次的概率为0.59,试问一次试验中出现的概率是多少?解 令{第次试验中发生}(),,则,解之得.11.设相互独立,.证明相互独立的充要条件是.证明必要性.设相互独立,则,即,而,所以.充分性.设,则两两独立,且,于是相互独立.12.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为,击伤的概率为,击不中的概率为.并设击伤两次也会导致潜水艇下沉.求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.解 令{第枚炸弹击沉潜水艇},{第枚炸弹击伤潜水艇},{第枚炸弹击不中潜水艇},(),{潜
6、水艇被击沉},则,于是,所以.13.设,试证与独立.证明因为,所以,即,于是,因此,从而与独立.14.已知某商场一天内来个顾客的概率为,其中.又设每个到达商场的顾客购买商品是独立的,其概率为.试求这个商场一天内有个顾客购买商品的概率.解 令{一天内有个顾客到达这个商场},{这个商场一天内有个顾客购买商品},则.15.甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为.问对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.解采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲
7、最终获胜的概率为.采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局(可能赛3局,也可能赛4局或5局),且最后一局必需是甲胜,而前面甲需胜二局.例如,共赛4局,则甲的胜局情况是:“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”,且这三种结局互不相容.由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为,而.当时;当时.故当时,对甲来说采用五局三胜制为有利.当时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的,都是50%.
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