古典概率-几何概率课件

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1、§1.2统计概率、古典概率及几何概率随机事件发生的可能性有大有小.人们往往用介于0和1之间的一个实数（即百分比）来表示这个指标，记为P(A)，称为随机事件A发生的概率.历史上曾先后出现过的概率定义：古典定义、几何定义、统计定义.云师大数学学院第1页2012-10-07这些定义各适合一类随机现象，均有一定的局限性.德国数学家希尔伯特，1900年的数学家大会，倡议建立概率的公理化体系，1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率的公理化定义.概率的公理化定义一经提出，就很快获得举世公认，这是概率论发展史上的一个里程碑式的大事件.云师大数学学院第2页2012-10-071.2.1统

2、计概率设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同的条件下，把E独立地重复做n次，以μn()A表示事件A在这n次试验中出现的次数（也称频数），则比值fnn()AA=μ()n称为事件A发生的频率.云师大数学学院第3页2012-10-07频率的稳定性：大量长期的实践表明：当试验次数不断增加时，事件A发生的频率fn()A稳定在某个常数p附近，以p为中心上下摆动，即事件A发生的频率随着试验次数的增加表现出一种稳定性.称p为频率的稳定值.这是一个不依赖于任何主观意愿的客观事实.云师大数学学院第4页2012-10-07投币试验正面向上的次数和频率.实验者投币次数正面向上的次数频率蒲丰404

3、020480.5069皮尔逊1200060190.5016维尼30000149940.4998英文字母的使用频率：字母空格ETO…QZ频率0.20.1050.0720.065…0.0010.001云师大数学学院第5页2012-10-07定义1.2.1设E为随机试验，A为其中任一事件，当试验次数n充分大时，事件A发生的频率fn()A稳定在某个常数p附近，则称p为事件A发生的统计概率，记为P(A)=p.频率稳定性的意义：一方面，它能适当地反映出A发生的可能性大小.在许多实际问题中，当概率不易求出云师大数学学院第6页2012-10-07时，可以取频率作为概率的近似值.另一方面，频率的

4、概念比较简单，容易掌握，常常可以由频率的性质去推测概率的性质.例如，由频率的定义有：0(≤fA)≤1，f()1Ω=及f()0∅=，nnn于是可以推知概率P(A)也满足性质：0()1≤PA≤，P()1Ω=及P()0∅=.云师大数学学院第7页2012-10-07注意：不能按微积分中数列的极限概念来理解概率的统计定义，就是说，不能认为P()lim()Af=A.nn→∞只能在一定概率意义下证明fn()A趋近于P()A．云师大数学学院第8页2012-10-07例1.2.1抛掷硬币试验可以在Excel中进行模拟.云师大数学学院第9页2012-10-071.2.2古典概率古典概率是历史上最早

5、出现的概率，它源于赌博，早在16世纪，概率这个概念就已形成，它与抛掷骰子进行赌博这类活动有密切联系.1654年一个名叫德梅尔的人提出的问题曾引起法国数学家帕斯卡和费马的通信讨论.问题之一是将两颗骰子云师大数学学院第10页2012-10-07抛掷24次，至少掷出一个“双6”的机率是否小于1/2？这个值实际上为241−≈（）35360.4914，是一个简单的古典概率问题.历史上这类问题很多，如下面的“得分问题”也是一个著名的问题.云师大数学学院第11页2012-10-07例1.2.2（得分问题）甲乙二人各出8元做赌注，以抛掷硬币的方式进行赌博，每抛掷一次，若出现正面，那么甲得1分，

6、乙不得分；否则乙得1分，甲不得分.事先规定先得10分者获胜，胜者得到全部16元赌注.当赌博进行到甲已得8分，乙已得7分时，赌博被打断并终止了，问二人如何合理地分配这16元赌注？云师大数学学院第12页2012-10-07概率的统计定义虽然具有一般性，但要得到一个事件的统计概率就要把试验在相同的条件下重复很多次，这就要受到一定的限制.有的试验做起来费时费力，十分困难，不过在两类特殊的随机试验（古典概型和几何概型）中却可以用简单的方法得到一个事件的概率.云师大数学学院第13页2012-10-07定义1.2.2具有下列两条性质的随机试验称为古典概型：(1)有限性：样本空间只包含有限个样

7、本点；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性都相同.如例1.1.1中(1)、(2)、(3)三个试验均为古典概型.经常会碰到古典概型问题：产品抽查、抽签、买彩票等.云师大数学学院第14页2012-10-07定义1.2.3在古典概型中，设样本空间Ω中的样本点总数为n，事件A包含的样本点数为m，那么事件A发生的概率为mPA()=n.这是1812年由法国数学家拉普拉斯给出的概率的古典定义.云师大数学学院第15页2012-10-07显然P(A)满足性质：0()1≤PA≤，P()1Ω=及P()0∅=.这