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1、第2节古典概率与几何概率定义随机事件A发生可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率,记作P(A).对于一个随机事件(必然事件和不可能事件除外)来说,它在一次试验中可能发生,也可能不发生.我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大,找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小.一、概率的定义及性质1.概率的统计定义(描述性定义)(1)频率定义2.1在一定的条件下,随机事件在n次重复试验中出现的次数nA,,叫做事件A发生的频数.比值nA/n叫做事件A发生的频率,并记为fn(A)=nA/n.频率具有下述性质:（1）0≤fn(A)≤1;（2）
2、fn(Ω)=1;（3）若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件,则历史上抛掷匀质硬币的若干结果试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998(2)概率的统计定义定义2.2在一定的条件下,进行了n次重复试验,在这n次试验中,事件A发生了nA次,当试验的次数n很大时,如果事件A发生的频率fn(A)=nA/n稳定在某个常数p的附近摆动,而且随着试验次数的增大,这种摆动的幅度越变越小,则
3、称数值p为事件A在一定条件下发生的概率,记作P(A)=p.这样定义的概率称为统计概率.注意(1)常数p是与试验次数n无关的.它是事件A的固有属性,而不随人的意志和试验操作发生变化.常数p是一种理论值,可以在一定的理论下推算出来.(2)随着试验次数n的增加,频数nA将逐步增大limnA=∞,频率nA/n是实际操作的结果,是试验值,不同的人,不同的时期,得到的结果可能不同.频率nA/n作为一个数列,limnA/n并不一定收敛于p,而只是在p的附近摆动.以后我们会知道，频率fn(A)=nA/n实际上是一个随机序列。具有以上两个特点的随机试验称为古典概型,也称为等可
4、能概型.在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特点的随机试验:(1)试验的样本空间的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.二、古典概型1.古典概型的定义定义2.4若一试验(概型)满足下列两个特征:(1)试验的样本空间中的基本事件的总数是有限的,即(2)每个基本事件的出现是等可能的,即则称此试验为等可能概型或古典概型.例2掷一枚均匀的硬币，只有“正面向上”或“反面向上”两种结果，而且这两种结果出现的可能性相同，均为1/2例3从100件同类型的产品中，任意抽取1件进行质量检查，则共有100种抽法，且每种出现的可能性大小相同，均是1%.2.古典
5、概率的计算公式设随机试验的样本空间为又由于基本事件是两两不相容的,于是有所以由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有设古典概型的样本空间中基本事件的总数为n,事件A中包含的基本事件的个数为nA,则事件A发生的概率为古典概型中的事件A的概率P(A)就是A包含的样本数nA与样本空间中的样本点数n的比值.称此为古典概率公式古典概率的定义即样本空间有4个样本点,而随机事件A1包含2个样本点,随机事件A2包含3个样本点,故P(A1)=2/4=1/2，P(A2)=3/4例4将一枚硬币抛掷二次,设事件A1为“恰有一次出现正面”;事件A2为“至少有一次出现正面”.求P
6、(A1)和P(A2).解正面记为H,反面记为T,则随机试验的样本空间为Ω={HH,HT,TH,TT}而A1={HT,TH}A2={HH,HT,TH}例5抛掷一颗匀质骰子，观察出现的点数，求出现的点数是不小于3的偶数的概率.解设A表示出现的点数是大小于3的偶数，则基本事件总数n=6，A包含的基本事件是“出现4点”和“出现6点”即m=2，即故例6在100件产品中,有4件次品,其余均为正品,求(1)这批产品的次品率；(2)任取3件，全是正品的概率；(3)任取3件，恰好有2件正品的概率.解设A为“任取1件产品取到次品”，表示“任取3件产品取到i件正品”，.基本事件总
7、数n1=100，A包含的基本事件数mA=4,故解设A=没有相同数字的三位数，B表示没有相同数字的三位偶数，则基本事件总数n=5×6×6=180(1)事件A包含的基本事件数为mA=5×5×4(2)事件B包含的基本事件数为mB=4×4×2+5×4=52所以所以例7用0,1,2,3,4,5这六个数字排成三位数，求（1）没有相同数字的三位数的概率.（2）没有相同数字的三位偶数的概率.例8设有同类产品6件,其中有4件合格品,2件不合格品.从6件产品中任意抽取2件,求抽得合格品和不合格品各一件的概率.解设A={抽得合格品和不合格品各一件}.因为基本事件总数等于从6件可以
8、区别的产品中任取2件的组合数目,故有基本事件总数且每
