第二学期2012-2013_高等代数ii_a

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1、北京科技大学2012—2013学年第二学期高等代数试卷（A卷）院(系)班级学号姓名试卷卷面成绩占课程考核成绩60%平时成绩占40%课程考核成绩题号一二三四五六七八小计得分一、（本题15分）设向量组由四个向量组成。解答下列问题：（1）求出这个向量组的秩，并求出一个极大线性无关组；（2）用求出的极大线性无关组表示其余向量；（3）这个向量组可以找到几个极大线性无关组？高等代数试卷A第8页共8页二、（本题15分）试研究三元一次方程组的解的情况，并在有无穷多解时给出这个方程组的通解。高等代数试卷A第8页共8页三、（本题15分）设是非齐次线性方

2、程组的个解，是一组数，证明：向量仍然是方程组的解的充分必要条件是。四、（本题15分）若是三阶对称矩阵，且满足下列三个条件：高等代数试卷A第8页共8页（i）矩阵的各行元素之和均为1；（ii）矩阵的行列式为4；（iii）矩阵的迹为-3。解答下列问题：（1）求出的特征多项式与最小多项式；（2）求出二次型的秩、正负惯性指数以及符号差；（3）在欧氏空间中，曲面的形状如何？（）五、（本题20分）在全体实二阶方阵组成的三维线性空间中选择一组基高等代数试卷A第8页共8页。并在上定义线性变换如下：。解答下列问题：（1）写出线性变换在给出基之下的矩阵；

3、（2）求出线性变换的特征多项式；（3）求出线性变换的特征值，并指出各个特征值的代数重数与几何重数；（4）求出线性变换的全部特征子空间；（5）线性变换是否可以对角化？如果不可以，请给出理由；如果可以，请给出一组基，使得在你给出的基之下的矩阵是对角形矩阵。高等代数试卷A第8页共8页六、（本题20分）设都是阶方阵且。请分别用指定的方法证明不等式高等代数试卷A第8页共8页。（1）方法一：线性方程组理论（2）方法二：线性变换理论证明：方法一，线性方程组理论。方法二，线性变换理论。高等代数试卷A第8页共8页高等代数试卷A第8页共8页