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1、2013春季学期高等代数作业解答教材习题1.4(1)第1(5)题(第1列减第2列,第3列减第4列)=(第2行减第1行,第4行减第3行)=(第3行减第2行)=教材习题1.4(1)第4题教材习题1.4(2)第5题第31页共31页习题1.6第5题第31页共31页复习题1第4题D=第31页共31页解:===第31页共31页复习题1第5题复习题1第9题第31页共31页教材习题2.2(2)第1(3)题第31页共31页教材习题2.2(2)第3题第31页共31页教材习题2.5(1)第2题第31页共31页教材习题2.
2、5(3)第1（1）题教材习题2.5(3)第3题第31页共31页教材习题2.7(1)第3题第31页共31页教材习题2.7(2)第2题教材习题2.7(3)第1（1）题第31页共31页复习题2第1（3）题第31页共31页复习题2第10题第31页共31页证法2：已知向量组与向量组有相同的秩，即，且可由线性表出。欲证可由线性表出，为此，考虑向量组（I）因可由线性表出，那么向量组（I）可由线性表出。又因是向量组（I）的部分组，则可由向量组（I）线性表出。于是向量组（I）与等价，等价的向量组有相同的秩，从而。取向
3、量组的极大线性无关组，则它也是向量组（I）的线性无关部分组。但向量组（I）的秩也为，那么从向量组（I）中任取一个向量，则，线性相关。因线性无关，故可由第31页共31页线性表出。于是向量组（I）中的任一个向量均可由线性表出，由于与等价，所以向量组（I）可由线性表出，从而与向量组（I）等价的可由线性表出。于是向量组与向量组等价。教材习题3.1(2)第5（3）题计算()解:令,其中为单位矩阵因与可交换,而且,从而,于是,对用牛顿二项式定理,有==教材习题3.2第5题设是一个阶矩阵,试证:存在一个阶非零矩阵
4、,使得的充分必要条件是:证:必要性---已知有一个阶非零矩阵,其中()是矩阵的非零列向量组.于是,即().第31页共31页因不全为零向量,所以齐次方程组有非零解,故.充分性----因,齐次方程组有非零解.取的个非零解向量为列,构成阶非零矩阵,使.教材习题3.3第2（4）题求下列矩阵的逆矩阵解：记此矩阵为AA的各元素的代数余子式为由此知，这是由于A为对称矩阵，且A可逆，则A*也对称。第31页共31页现证明如下：因取转置，得，即故有两边右乘，得所以，也是对称矩阵。由对称，则于是第31页共31页教材习题3
5、.4第5（3）题第31页共31页第31页共31页教材习题3.5第10题第31页共31页复习题3第10题第31页共31页设是一个阶矩阵（），试证：解：当时，可逆，。因，两边取行列式，得，则有，故。当时，的非零子式的最高阶数为，，从而这表明，的列向量组都是齐次方程组的解，故的列向量组可由的基础解系线性表出。的基础解系所含独立解的个数为，于是。但因的非零子式的最高阶数为，则矩阵的元素的代数余子式中至少有一个不为零，故。当时，的所有阶子式全等于零，即的全部元素均为零，故。复习题3第11题设是一个阶矩阵(),
6、求证:证因，两边取行列式，得，若可逆,,则得.若不可逆,,则.由第10题知,此时,但题设,即与均为阶数大于或等于2的方阵,从而至少是2阶方阵,但,于是的非零子式的最高阶数小于或等于1,则的2阶及2阶以上的子式全为0.显然是的2阶或2阶以上的子式,所以.故有第31页共31页教材习题4.1第4题教材习题4.1第4题教材习题4.2第5题第31页共31页教材习题4.2第1（4）题第31页共31页教材习题4.3第2题第31页共31页教材习题4.4第1（1）题求正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵:（1）解：A的
7、特征多项式A的特征值A是实对称矩阵，下面分别求属于不同特征值的特征向量。时，求的基础解系：第31页共31页由此得一般解：（是自由未知量）基础解系是属于的特征向量。因为A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量互相正交，故只须将单位化：时，求的基础解系：由此得一般解：（是自由未知量）基础解系是属于的特征向量，将它单位化：时，求的基础解系：第31页共31页由此得一般解：（是自由未知量）基础解系是属于的特征向量，将它单位化：是正交单位向量组，以它们为列，构成正交矩阵则复习题4第3（1）题第31页共31页第3
8、1页共31页第31页共31页复习题4第4题第31页共31页
