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1、高等代数作业（2011年春季学期）要求：1.作业必须写出全部求解过程。计算题必须写出全部计算过程；证明题必须写出全部证明步骤。不能只写答案。2．要独立完成作业，不要抄别人的作业，不要抄《高等代数教程习题集》的答案。3．不许抄袭或复制前几个学期的习题解答。4.键入数学公式，可用数学软件Mathtype.作业第一章行列式1.教材习题1.3第5（2）题2.教材习题1.4（1）第4题3.教材习题1.6第1（3），3，5题4.复习题1第4，6题第二章线性方程组1.教材习题2.1第1（4）题2.教材习题2.2（2）第1(3),3题3.教材习题2.5（2）第3题4.教材习题2.5（3）第4
2、，5题5.教材习题2.7（1）第2题6.教材习题2.7（2）第1（2）题7.教材习题2.7（3）第1（2），3题8.复习题2第10题第三章矩阵1.教材习题3.1（2）第5（4）题2.教材习题3.2第5，6题3.教材习题3.3第2（5）题4.教材习题3.4第5（3）题5.教材习题3.5第9题6.复习题3第10,11，15题第四章矩阵的对角化1.教材习题4.1第4题2.教材习题4.2第1（4）题3.教材习题4.3第2（1）（2），4题4.教材习题4.4第1（3）题5.复习题4第4，8题第五章二次型1.教材习题5.1第1，4（1）（2）题2.教材习题5.2第2题3.教材习题5.3第
3、5题4.教材习题5.5第3，6题4.复习题5第11，12题作业第一章行列式1.教材习题1.4（1）第1（5）题1.（5）计算下列行列式解：(第1列减第2列,第3列减第4列)=(第2行减第1行,第4行减第3行)=(第3行减第2行)=2.教材习题1.4（2）第2题计算下列行列式1.教材习题1.6第3，5，6题第6题----计算2n阶行列式D=解:D＝＝＝1.复习题1第4，5，6题第4题——计算行列式第5题-------计算行列式解：(将各列均加到第1列)(对第1列展开)(这是(n-1)阶下三角形行列式)第二章线性方程组1.教材习题2.1第1（1）题2.教材习题2.2（2）第1（3
4、），3题3.教材习题2.5（2）第2题4.教材习题2.5（3）第5题设向量组可以由向量组线性表出，求证：证：设向量组的秩为：，取它的一个极大线性无关组；设向量组的秩为：，取它的一个极大线性无关组。因向量组与它的极大线性无关组等价，故与等价，与等价。由题设向量组可由线性表出，根据等价关系的传递性，可由线性表出，因线性无关，所以，即。5.教材习题2.7（1）第3题6.教材习题2.7（2）第1（1）题7.教材习题2.7（3）第1（2）题8.复习题2第7，10题第10题证法2：已知向量组与向量组有相同的秩，即，且可由线性表出。欲证可由线性表出，为此，考虑向量组（I）因可由线性表出，那
5、么向量组（I）可由线性表出。又因是向量组（I）的部分组，则可由向量组（I）线性表出。于是向量组（I）与等价，等价的向量组有相同的秩，从而。取向量组的极大线性无关组，则它也是向量组（I）的线性无关部分组。但向量组（I）的秩也为，那么从向量组（I）中任取一个向量，则，线性相关。因线性无关，故可由线性表出。于是向量组（I）中的任一个向量均可由线性表出，由于与等价，所以向量组（I）可由线性表出，从而与向量组（I）等价的可由线性表出。于是向量组与向量组等价。第三章矩阵1.教材习题3.1（2）第5（4）题2.教材习题3.2第5，6题第6题----设A，B都是n阶矩阵，试证：如果AB＝0，
6、那么。证：设n阶矩阵A,B的秩分别为，并记。设B的列向量组为，则有，即（）故B的任何一个列向量（）都是齐次方程组的解，都可由齐次方程组的基础解系线性表出，于是由此得。1.教材习题3.3第4题2.教材习题3.4第5（1）题3.教材习题3.5第9题习题3.59.求与向量组(1,0,1,1),(1,1,1,-1),(1,2,3,1)等价的正交单位向量组.解:记,,,分别取它们的前3个分量,得,,.由于,故线性无关.每个向量再加一个分量,它们仍线性无关,故线性无关.下面用Schmidt正交化方法,求与等价的正交单位向量组.正交化---令=()再把单位化:=(),是与等价的正交单位向量
7、组.1.复习题3第10,15题10.设是一个阶矩阵（），试证：解：当时，可逆，。因，两边取行列式，得，则有，故。当时，的非零子式的最高阶数为，，从而这表明，的列向量组都是齐次方程组的解，故的列向量组可由的基础解系线性表出。的基础解系所含独立解的个数为，于是。但因的非零子式的最高阶数为，则矩阵的元素的代数余子式中至少有一个不为零，故。当时，的所有阶子式全等于零，即的全部元素均为零，故。第三章矩阵的对角化1.教材习题4.1第4题1.教材习题4.2第1（4）题1.求下列复系数矩阵的特征值和特征向量。（4）解：
